Уравнение. Решение более сложных тригонометрических уравнений.

Уравнения sin х = а, cos х = а, tg х = а, ctg х = а - это простейшие тригонометрические уравнения. На практике чаще всего приходится иметь дело с более сложными тригонометрическими выражениями. Процесс решения которых, после осуществления преобразований, сводится к решению простейших тригонометрических уравнений.

Пример 1.

Найти корни уравнения:

sin 2х = cos х sin 2x.

Перенесем все члены выражения в левую часть и вынесем общий член за скобки:

sin 2х (1 — cos х) = 0.

Произведение двух выражений в одном единственном случае равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, а второй равен любому числовому значению, только бы он был определен.

Когда sin 2х = 0, то 2х = nπ; х = ^π/₂ n.

Когда 1 – cos х = 0, то cos х = 1; х = 2kπ.

По итогу получена пара корней: х = ^π/₂  n ; х = 2kπ. Вторая группа корней содержится в первой, так как при n = 4k выражение х =^π/₂n преобразуется в х = 2kπ.

Благодаря этому, ответ можно выразить одним соотношением: х = ^π/₂  n, где n —всякое целое число.

Обратим внимание, что указанное выражение не рекомендуется решать путем сокращения на sin 2x. Поскольку после сокращения мы имели бы 1 - cos х = 0, откуда х =2kπ. Соответственно, были бы утеряны отдельные корни, к примеру ^π/₂, π, ^3π/₂.

Пример 2.

Найдем корни уравнения:

.

Дробь будет равняться нулю только, когда ее числитель равен нулю. И следовательно sin 2х=0, отсюда 2х = nπ; х = ^π/₂ n.

Из этих значений х требуется отбросить как не относящиеся к уравнению те значения, при которых sin х обращается в нуль (на ноль делить нельзя). Такими значениями будут числа, кратные π. В соотношении х= ^π/₂ n они получаются при четных n. Поэтому корнями данного уравнения будут числа:

х= ^π/₂ (2k + 1),

где k — всякое целое число.

Пример 3.

Вычислим корни уравнения:

2 sin²х + 7 cos x — 5 = 0.

Представим sin² х через cos x: sin² х = 1 — cos²x. Тогда заданное выражение можем представить так:

2 (1 — cos²x) + 7 cos x — 5 = 0, или

2cos²x — 7 cos x + 3 = 0.

Обозначим cos x как у, и получим квадратное уравнение:

2у²— 7у + 3 = 0,

решением которого будут ¹/₂и 3.

Следовательно, или cos x = ¹/₂ , или cos х = 3. И все же второе невозможно, так как косинус угла по абсолютной величине не может быть больше единицы.

Вполне логично будет сделать вывод, что:

cos x = ^½ и

х = ± 60° +360° n.

Пример 4.

Найдем решение уравнения:

2 sin х + 3cos x = 6.

Так как sin x и cos x по абсолютной величине не могут быть больше единицы, то выражение 2 sin х + 3cos x не может принимать значения больше пяти. И следовательно, у заданного уравнения нет корней.

Пример 5.

Найдем корни уравнения:

sin х + cos x = 1.

Возведем обе части заданного выражения в квадрат, и тогда:

sin²х + 2 sin x cos x + cos² x = 1,

но sin² х + cos²x = 1.

И следовательно, 2 sin x cos x = 0.

Когда sin x = 0, то х = nπ; когда cos x, то х = ^π/₂ + kπ. Эту пару решений выразим одной формулой:

х = ^π/₂ n.

Так как обе части указанного выражения мы возводили в квадрат, то есть вероятность, что среди найденных корней есть лишние. Поэтому в этом выражении, в отличие от всех ранее разобранных, требуется выполнить проверку.

Все значения:

х = ^π/₂ n можно разделить на четыре совокупности:

х = 2kπ., то n = 4k;

х = ^π/₂ + 2kπ то( n = 4k + 1);

х = π + 2kπ., то ( n = 4k + 2);

х = ^3π/₂ + 2kπ., то ( n = 4k + 3).

Когда х = 2kπ sin x + cos x = 0 + 1 = 1

тогда, х = 2kπ — корни заданного уравнения.

Когда х = ^π/₂+ 2kπ. sin x + cos x = 1 + 0 = 1

тогда, х = ^π/₂ + 2kπ— также корни заданного уравнения.

Когда х = π + 2kπ sin x + cos x = 0 - 1 = - 1.

Вот почему значения х = π + 2kπ не будут корнями заданного уравнения. Подобным образом доказывается, что х=^3π/₂+2kπ. не будут корнями.

Следовательно, у заданного уравнения такие корни:

х = 2kπ и х=^π/₂+2mπ,

где k и m — произвольные целые числа.