Существует возможность отобразить всякий корень уравнения sin х = а, как абсциссу некой точки пересечения синусоиды у =sinх и прямой у = а, и, соответственно верно обратное, абсцисса всякой такой точки пересечения выступает одним из корней уравнения.
При | а| >1 синусоида у = sin х не пересечется с прямой у = а. В данном случае у уравнения нет корней.
При | а |<1, у синусоиды у = sin х и прямой у = а будет бесконечно много общих точек. В указанном варианте у уравнения будет бесконечное множество корней.
При 0<а<1 и -1< а < 0 все корни уравнения находятся по формуле:
х = (-1)marcsin a+ mπ,
где m изменяется по всем целым числам (m =0, ±1, ±,2, ±3, ...).
При а = 0 у уравнение sin x = а будут корни:
х = mπ,
где m изменяется по всем целым числам (m = 0, ±1, ±2, ±3, ...).
Несомненно, arcsin0 = 0 и соответственно получаем (-1)marcsin 0 + mπ = mπ.
При а = 1, корни уравнения определяются по формуле:
х =π/2+ 2kπ,
где k изменяется по всем целым числам (k = 0, ±1, ±2, ±3, ...).
Для обоснования формулы выполним подстановку: а = 1 в формулу:
(-1)marcsin0+ mπ = mπ и принимая к сведению, что arcsin 1=π/2, имеем: (- 1)m arcsin 1 + mπ= (- 1)mπ/2 + mπ.
При а = -1 корнями уравнения sin x = а будут числа:
х= -π/2+ 2kπ,
где k изменяется по всем целым числам (k = 0, ±1, ±2, ±3, . . .).
Необходимо учитывать, что все вышеуказанные формулы можно применять в том случае, когда искомый угол х представлен в радианах. Когда х представлен в градусах, то эти формулы нужно преобразовать.
К примеру, вместо формулы (-1)m arcsin 0 + mπ = mπ необходимо применять формулу х= (-1)m arcsinа + 180m, вместо формулы х = mπ - формулу х= 180 m и т. д.
Разбор ЕГЭ 2013 по математике. Задание С1
