Квадратный корень.

Квадратный корень из a (корень второй степени - ) является решением уравнения .

- значок называется радикал.

Другими словами, квадратный корень из a — это число, которое дает a при возведении в квадрат. Процесс вычисления значения  называют извлечением квадратного корня из числа a. Чаще всего под x и a подразумевают числа, однако в некоторых приложениях могут подразумеваться и другие математические объекты, например матрицы и операторы.

Пример для вещественных чисел:  так как  У квадратного корня есть противоположные, то есть значения, с разными знаками, (в нашем случае, положительное и отрицательное числа), и это усложняет работу с корнями. Чтобы добиться однозначности, вводят понятие арифметического корня. Его значение при  всегда положительно.

Свойства квадратных корней.

• ;

•  если а ≥ 0 и b > 0;

•  если а ≥ 0 и n — натуральное число;

•  если а ≥ 0 и n — натуральное число.

• Обратите внимание, (−5)² = 25, но .

• Корень не может равняться неположительному числу.

•  — невозможно вычислить, корень из отрицательного числа не существует.

• Если , то b² = a, при а ≥ 0 и b ≥ 0.

• Важно понимать, что квадратный корень - это другая запись степени ½:

Например:

Дробная степень числа.

Кроме квадратного корня есть еще кубический корень (третьей степени), четвертой и тому подобные корни. Название корня определяется цифрой на корне.

Обратите внимание: Корень всех степеней легко представить как дробную степень.

Посмотрим как корни связаны с дробной степенью. Есть x в степени 3/2. Запишем через знак корня это выражение. Знаменатель дробной степени отправляем на корень, а числитель под корень на число.

Еще пара примеров:

Обратите внимание:

Только у квадратного корня (корня 1-й степени) нет цифры на корне. Это общепринятый знак.

Корень n -ной степени.

Корень n-ной степени из числа a — это такое число, возводя которое в n-ную степень получаем число a.

Корень 3-й, 5-й, 9-й — то есть, все корни нечетной степени, — извлекают из положительных и отрицательных чисел.

Квадратный корень и корни 4-й, 10-й, всех четных степеней извлекают только из положительных чисел.

Тогда,  — такое число, что . Как видно, корни записывают как степени с рациональным показателем.

Из определения,

в общем случае:

.

Помните, что основание степени a больше нуля.

Выражение  равняется . При этом тоже выполняется условие, что a больше нуля.

Например, , , .

Примеры вычисления выражений с корнями.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

;

Пример 4.