Квадратный корень из a (корень второй степени - ) является решением уравнения
.
- значок называется радикал.
Другими словами, квадратный корень из a — это число, которое дает a при возведении в квадрат. Процесс вычисления значения называют извлечением квадратного корня из числа a. Чаще всего под x и a подразумевают числа, однако в некоторых приложениях могут подразумеваться и другие математические объекты, например матрицы и операторы.
Пример для вещественных чисел: так как
У квадратного корня есть противоположные, то есть значения, с разными знаками, (в нашем случае, положительное и отрицательное числа), и это усложняет работу с корнями. Чтобы добиться однозначности, вводят понятие арифметического корня. Его значение при
всегда положительно.
Свойства квадратных корней.
;
если а ≥ 0 и b > 0;
если а ≥ 0 и n — натуральное число;
если а ≥ 0 и n — натуральное число.
- Обратите внимание, (−5)2 = 25, но
.
- Корень не может равняться неположительному числу.
— невозможно вычислить, корень из отрицательного числа не существует.
- Если
, то b2 = a, при а ≥ 0 и b ≥ 0.
- Важно понимать, что квадратный корень - это другая запись степени ½:
Например:
Дробная степень числа.
Кроме квадратного корня есть еще кубический корень (третьей степени), четвертой и тому подобные корни. Название корня определяется цифрой на корне.
Обратите внимание: Корень всех степеней легко представить как дробную степень.
Посмотрим как корни связаны с дробной степенью. Есть x в степени 3/2. Запишем через знак корня это выражение. Знаменатель дробной степени отправляем на корень, а числитель под корень на число.
Еще пара примеров:
Обратите внимание:
Только у квадратного корня (корня 1-й степени) нет цифры на корне. Это общепринятый знак.
Корень n -ной степени.
Корень n-ной степени из числа a — это такое число, возводя которое в n-ную степень получаем число a.
Корень 3-й, 5-й, 9-й — то есть, все корни нечетной степени, — извлекают из положительных и отрицательных чисел.
Квадратный корень и корни 4-й, 10-й, всех четных степеней извлекают только из положительных чисел.
Тогда, — такое число, что
. Как видно, корни записывают как степени с рациональным показателем.
Из определения,
в общем случае:
.
Помните, что основание степени a больше нуля.
Выражение равняется
. При этом тоже выполняется условие, что a больше нуля.
Например, ,
,
.
Примеры вычисления выражений с корнями.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
;
Пример 4.