Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений.

1. Коэффициент при первой степени переменной равен нулю ().

Уравнение принимает вид:

Решим его в общем виде:

Замечание: уравнение будет иметь корни только в том случае, если , иначе окажется, что квадрат

равен отрицательному числу, а это невозможно.

Ответ:                                         

Пример:

Ответ:                                         

Последний переход сделали потому, что иррациональность в знаменателе оставляют крайне редко.

2. Свободный член равен нулю (с=0).

Уравнение принимает вид:

Решим его в общем виде:

Произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю:

1)                        

2)                      

Ответ:                                

Пример:

Ответ:                                        

3. Все коэффициенты, кроме стоящего при квадрате переменной, равны нулю. Уравнение принимает вид:

Оно имеет только нулевое решение.

Ответ:                                         

А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок:

Приём первый. Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. 

Что это означает?

Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с. Постройте

пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

Избавьтесь от минуса. Как? Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример.

Дорешайте самостоятельно. У вас должны получиться корни 2 и -1.

Приём второй. Проверяйте корни! По теореме Виета.

Для решения приведённых квадратных уравнений, т.е. если коэффициент 

a = 1:

x²+bx+c=0,

тогда         x₁x₂=c

                   x₁+x₂=−b

Для полного квадратного уравнения, в котором  a≠1:

x²+bx+c=0,  

делим все уравнение на а:

  →    →

где x¹ и x² – корни уравнения.

Приём третий. Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты,  -  избавьтесь от дробей! Домножьте

уравнение на общий знаменатель.

Вывод. Практические советы:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно.

2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением

всего уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий

множитель.

4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по

теореме Виета.