Уравнение. Простейшие тригонометрические уравнения tg х = а и ctg х = а.

Любые корни уравнения tg x = a если х указан в радианах находим из соотношения:

х= arctg a + mπ,

или для х в градусах:

х = arctg а + 180° m,

где m изменяется по всем целым числам (m = 0, ± 1, ±2, ±3).

Сходным образом все корни уравнения ctg х = а находим из соотношения:

х = arcctg a + mπ,

или

х = arcctg а + 180° m.

Проанализируем решение простейших тригонометрических уравнений.

1) Найти корни уравнения tg (30° - х) = .

Применив формулу х = arctg а + 180° m, получим:

30° - х = arctg  + 180° m = 60° + 180° m.

Далее

х = -30° - 180°m,

что можно показать, и таким образом:

х = -30°+ 180° k.

2) Найдем корни уравнения ctg(2х - ^π/₄ ) = -1.

Применив формулу х = arcctg a + mπ, получим:

2х - ^π/₄  = arcctg (- 1) + mπ = ^3π/₄ + mπ.

далее

2х = π + mπ = (1 + m)π,

х = ^π/₂(m + 1).

Поскольку m может быть любым произвольным целым числом, то полученный результат можно показать и в более упрошенном виде:

х = ^π/₂ k.