Уравнение. Простейшее тригонометрическое уравнение cos х = а.

Существует возможность отобразить всякий корень уравнения cos х=а, как абсциссу некой точки пересечения косинусоиды у = cos х и прямой у = а, и, соответственно верно обратное, абсцисса всякой такой точки пересечения будет одним из корней данного уравнения.

Как видим, множество всех корней уравнения соответствует множеству абсцисс всех точек пересечения косинусоиды у = cos х и прямой у = а.

Когда |а| > 1, то косинусоида у = cos х не пересекается с прямой у = а.

В данном случае у уравнения нет корней.

Когда |а| < 1 имеем бесконечно много точек пересечения.

Корни уравнения вычисляем по формуле:

х = ± arccos a + 2mπ,

где m изменяется по всем целым числам (m =0, ±1, ±2, ±3, ...).

В трех случаях, когда а = 0, а = -1, а = 1 удобнее не применять данную формулу, а использовать альтернативные соотношения.

Когда а = 0, то корни уравнения cos х = 0 находятся из соотношения:

х = ^π/₂ + nπ.

Когда а = -1, то корни уравнения cos х = -1 вычисляются из соотношения:

х= π + 2mπ.

Когда а = 1, то корни уравнения cos х = 1 вычисляют из соотношения:

х = 2mπ.

Следует не забывать, что все вышеперечисленные формулы верны лишь в том случае, когда искомый угол х указан в радианах. Когда он указан в градусах, то эти соотношения нужно естественным образом преобразовать.

Так, формулу х = ± arccos a + 2mπ заменяется формулой х = ±arccosa+ 360° n, формулу х = ^π/₂ + nπ формулой х = 90° + 180° n и т. д.