Числа. Целые числа. Свойства целых чисел.

Целые числа – это натуральные числа, а также противоположные им числа и нуль.

Целые числа — расширение множества натуральных чисел N, которое получается путем добавления к N 0 и отрицательных чисел типа − n. Множество целых чисел обозначают Z.

Сумма, разность и произведение целых чисел дают снова целые числа, т.е. целые числа составляют кольцо относительно операций сложения и умножения.

Целые числа на числовой оси:

Сколько целых чисел? Какое количество целых чисел? Самого большого и самого маленького целого числа нет. Этот ряд бесконечен. Наибольшее и наименьшее целое число не существует.

Натуральные числа еще называются положительными целыми числами, т.е. фраза «натуральное число» и «положительное целое число» это одно и то же.

Ни обыкновенные, ни десятичные дроби не являются целыми числами. Но существуют дроби с целыми числами.

Примеры целых чисел: -8, 111, 0, 1285642, -20051 и так далее.

Говоря простым языком, целые числа - это (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) – последовательность целых чисел. То есть те, у которых дробная часть ({}) равна нулю. Они не имеют долей.

Натуральные числа - это целые, положительные числа. Целые числа, примеры: (1,2,3,4...+ ∞).

Операции над целыми числами.

     1. Сумма целых чисел.

Для сложения двух целых чисел с одинаковыми знаками, необходимо сложить модули этих чисел и перед суммой поставить итоговый знак.

Пример:

(+2) + (+5) = +7.

     2. Вычитание целых чисел.

Для сложения двух целых чисел с разными знаками, необходимо из модуля числа, которое больше вычесть модуль числа, которое меньше и перед ответом поставить знак большего числа по модулю.

Пример:

(–2) + (+5) = +3.

     3. Умножение целых чисел.

Для умножения двух целых чисел, необходимо перемножить модули этих чисел и перед произведением поставить знак плюс (+), если исходные числа были одного знака, и минус (–) – если разного.

Пример:

(+2) ∙ (–3) = –6.

Когда умножаются несколько чисел, знак произведения будет положительным, если число неположительных сомножителей чётное, и отрицателен, если нечётное.

Пример:

(–2) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–3) ∙ (+4) = –360 (3 неположительных сомножителя).

     4. Деление целых чисел.

Для деления целых чисел, необходимо поделить модуль одного на модуль другого и поставить перед результатом знак «+», если знаки чисел одинаковые, и минус, – если разные.

Пример:

(–12) : (+6) = –2.

Свойства целых чисел.

Z не замкнуто относительно деления 2-х целых чисел (например, 1/2). Ниже приведенная таблица показывает некоторые основные свойства сложения и умножения для любых целых a, b и c.

Из таблицы можно сделать вывод, что Z - это коммутативное кольцо с единицей относительно сложения и умножения.

Стандартное деление не существует на множестве целых чисел, но есть т.н деление с остатком: для всяких целых a и b, b≠0, есть один набор целых чисел q и r, что a = bq + r и 0≤r<|b|, где |b| — абсолютная величина (модуль) числа b. Здесь a — делимое, b — делитель, q — частное, r — остаток.