Абсолютными величинами называются — объем или размер события, которое изучается или явления, процесса, который выражен в соответствующих единицах измерения в конкретных условиях места и времени.Или, другими словами: это просто число без учёта знака (всегда с плюсом).

Абсолютное значение величины - это само число (без знака), как например: температура, давление, скорость и т. п. Модуль - это число без направления, например: давление, скорость, сила и т. п.

Абсолютная величина числа или модуль числа x — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x. Обозначается: |x|.

Если x вещественный, то абсолютная величина – это непрерывная кусочно-линейная функция, которая определяется так, формула:

 

Абсолютная величина. Модуль.

 

Обобщением этого понятия есть модуль комплексного числа z=x+iy, иногда называют абсолютной величиной. Его определяют формулой:

Абсолютная величина. Модуль.

 

Абсолютные величины, виды:

  • Индивидуальная абсолютная величина — характеризует единицу совокупности,
  • Суммарная абсолютная величина — характеризует группу единиц или всю совокупность.

 

Свойства модуля.

  • Модулю присущи некоторые характерные результаты - свойства модуля.
  • Модуль числа не бывает числом меньше нуля. Обоснование этого свойства: модуль числа – это расстояние, а расстояние не выражается числом ниже нуля.
  • Модуль числа = 0 только в том случае, если это число является нулем. Модуль нуля – это нуль по определению. Нуль – это начало отсчета, ни одна больше точка на координатной прямой нулем не является. Исходя из этого, каждому числу, не равному нулю, соответствует точка, не являющаяся началом отсчета. Значит, расстояние начало отсчета –  любая точка, не соответствующая точке O, не равно нулю, т.к. расстояние между 2 точка и равно нулю только если они совпадают. Из этого следует, что нулю равен только модуль нуля.
  • Противоположные числа имеют одинаковые модули, т.е. Абсолютная величина. Модуль., для каждого числа a. Так и есть, 2 точки на координатной прямой, координаты которых –  противоположные числа, расположены на равном расстоянии от начала отсчета, т.о. модули противоположных чисел одинаковы. 
  • Абсолютная величина. Модуль.По определению модуль произведения чисел a и b равен либо a·b, если Абсолютная величина. Модуль., либо −(a·b), если Абсолютная величина. Модуль.. Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел a и b равно либо a·b, Абсолютная величина. Модуль., либо −(a·b), если Абсолютная величина. Модуль., что доказывает рассматриваемое свойство.
  • Модуль частного от деления a на b = частному от деления модуля числа a на модуль числа b, т.е.,

Абсолютная величина. Модуль..

Так как частное Абсолютная величина. Модуль. = Абсолютная величина. Модуль., то Абсолютная величина. Модуль.. В силу предыдущего свойства имеем Абсолютная величина. Модуль.. Воспользуемся равенством Абсолютная величина. Модуль., которое справедливо в силу определения модуля числа.

 

Основные свойства абсолютной величины.

Вещественные числа.

  • Область определения: Абсолютная величина. Модуль..
  • Область значений: Абсолютная величина. Модуль..
  • Функция чётная.
  • Функция дифференцируема везде, кроме нуля. В точке x = 0 функция претерпевает излом.

 

Комплексные числа.

  • Область определения: вся комплексная плоскость.
  • Область значений: Абсолютная величина. Модуль..
  • Модуль как комплексная функция не дифференцируется ни в одной точке.

 

Алгебраические свойства абсолютной величины.

Для каждого Абсолютная величина. Модуль. имеют место следующие соотношения:

  • Абсолютная величина. Модуль.,
  • Абсолютная величина. Модуль.,
  • Абсолютная величина. Модуль.,

Как для вещественных, так и для комплексных a, b  имеют место соотношения:

  • Абсолютная величина. Модуль., причём Абсолютная величина. Модуль. только если Абсолютная величина. Модуль.,
  • Абсолютная величина. Модуль.
  • Абсолютная величина. Модуль.,
  • Абсолютная величина. Модуль. - неравенство треугольника,
  • Абсолютная величина. Модуль.,
  • Абсолютная величина. Модуль.,
  • Абсолютная величина. Модуль.,
  • Абсолютная величина. Модуль. , если ak существует.