Дисперсия случайной величины характеризует степень разброса случайной величины около ее математического ожидания, то есть её отклонения от математического ожидания.

Если случайная величина ξ имеет математическое ожидание Mξ, то дисперсией случайной величины ξ выражается так:

Dξ = M(ξ - Mξ )2.

Из этого следует, что                                        Dξ = M(ξ - Mξ )2= Mξ 2 - M(ξ)2.

 

Эта универсальная формула отлично применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина Mξ 2 больше для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам:

Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины., Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины..

Для вычисления степени разброса значений случайной величины зачастую используют среднеквадратичное отклонение Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины., связанное с дисперсией соотношением Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины..

 

Свойства дисперсии случайной величины.

  • Дисперсия каждой случайной величины неотрицательна:

Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины.

  • Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
  • Если случайная величина = константе, то её дисперсия = 0:

Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины.

Верно и обратное утверждение: если Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины., то Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины. почти везде;

  • Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины.,

  •  Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины. — их ковариация;
  • Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин соответствует следующая формула:

Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины.,

где Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины.

  • Например, Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины. для любых независимых или некоррелированных случайных величин, потому что ковариации этих случайных величин равны нулю;
  • Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины.
  • Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины.
  • Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины.

Пример. Как найти математическое ожидание и дисперсию.

Предположим, случайная величина X имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на [0,1], т.е. её плотность вероятности задана следующим равенством:

Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины.

Из этого следует, что математическое ожидание квадрата случайной величины можно выразить таким образом:

Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины.

и формула математического ожидания случайной величины выглядит так:

Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины.

Следовательно, дисперсию случайной величины найдем по формуле:

Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины..