Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.

Каждая, отдельно взятая величина полностью определяется своей функцией распределения. Также, для решения практических задач хватает знать несколько числовых характеристик, благодаря которым появляется возможность представить основные особенности случайной величины в краткой форме.

К таким величинам относят в первую очередь математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины в теории вероятностей. Обозначается как .

Самым простым способом математическое ожидание случайной величины Х(w), находят как интеграл Лебега по отношению к вероятностной мере Р исходном вероятностном пространстве

Еще найти математическое ожидание величины можно как интеграл Лебега от х по распределению вероятностей Р_Х величины X:

где  - множество всех возможных значений X.

Математическое ожидание функций от случайной величины X находится через распределение Р_Х. Например, если X - случайная величина со значениями в  и f(x) - однозначная борелевская функция Х, то:

Если F(x) - функция распределения X, то математическое ожидание представимо интегралом Лебега - Стилтьеса (или Римана - Стилтьеса):

при этом интегрируемость X в смысле (*) соответствует конечности интеграла 

В конкретных случаях, если X имеет дискретное распределение с вероятными значениями х_k, k=1, 2, . , и вероятностями , то

если X имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью вероятности р(х), то

при этом существование математического ожидания равносильно абсолютной сходимости соответствующего ряда или интеграла.

Свойства математического ожидания случайной величины.

• Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине:

M[C]=C,

C – постоянная;

• M[C•X]=C•M[X]

• Математическое ожидание суммы случайно взятых величин равно сумме их математических ожиданий:

• Математическое ожидание произведения независимых случайно взятых величин = произведению их математических ожиданий:

M[X+Y]=M[X]+M[Y]

если X и Y независимы.

• 
• ЕС=С для любого действительного С
•  для любых действительных a и b;
•  

если сходится ряд:

•  для выпуклых функций g(x).
• любая ограниченная случайно взятая величина имеет конечное математическое ожидание.
• для взаимно независимых случайных величин X₁, ..., Х_п:

Алгоритм вычисления математического ожидания.

Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению приравнять отличную от нуля вероятность.

     1. По очереди перемножаем пары: x_i на p_i.

     2. Складываем произведение каждой пары x_ip_i.

Напрмер, для n = 4:

Функция распределения дискретной случайной величины ступенчатая, она возрастает скачком в тех точках, вероятности которых имеют положительный знак.

Пример: Найти математическое ожидание по формуле:

Найти математическое ожидание по формуле:

Математическое ожидание M[X] равно:

Дисперсию найдем по формуле:

Дисперсия D[X]:

Среднее квадратическое отклонение σ(x).