Каждая, отдельно взятая величина полностью определяется своей функцией распределения. Также, для решения практических задач хватает знать несколько числовых характеристик, благодаря которым появляется возможность представить основные особенности случайной величины в краткой форме.

К таким величинам относят в первую очередь математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины в теории вероятностей. Обозначается как Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины..

Самым простым способом математическое ожидание случайной величины Х(w), находят как интеграл Лебега по отношению к вероятностной мере Р исходном вероятностном пространстве Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.

Еще найти математическое ожидание величины можно как интеграл Лебега от х по распределению вероятностей РХ величины X:

Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.

где Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины. - множество всех возможных значений X.

Математическое ожидание функций от случайной величины X находится через распределение РХНапример, если X - случайная величина со значениями в Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины. и f(x) - однозначная борелевская функция Х, то:

Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.

Если F(x) - функция распределения X, то математическое ожидание представимо интегралом Лебега - Стилтьеса (или Римана - Стилтьеса):

Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.

при этом интегрируемость X в смысле (*) соответствует конечности интеграла 

Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.

В конкретных случаях, если X имеет дискретное распределение с вероятными значениями хk, k=1, 2, . , и вероятностями Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины., то

Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.

если X имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью вероятности р(х), то

Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.

при этом существование математического ожидания равносильно абсолютной сходимости соответствующего ряда или интеграла.

 

Свойства математического ожидания случайной величины.

  • Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине:

M[C]=C,

– постоянная;

  • M[C•X]=C•M[X]
  • Математическое ожидание суммы случайно взятых величин равно сумме их математических ожиданий:

Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.

  • Математическое ожидание произведения независимых случайно взятых величин = произведению их математических ожиданий:

M[X+Y]=M[X]+M[Y]

если X и Y независимы.

  • Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.
  • ЕС=С для любого действительного С
  • Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины. для любых действительных a и b;
  • Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины. 

если сходится ряд:

Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.

  • Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины. для выпуклых функций g(x).
  • любая ограниченная случайно взятая величина имеет конечное математическое ожидание.
  • для взаимно независимых случайных величин X1, ..., Хп:

Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.

 

Алгоритм вычисления математического ожидания.

Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению приравнять отличную от нуля вероятность.

     1. По очереди перемножаем пары: xi на pi.

     2. Складываем произведение каждой пары xipi.

 

Напрмер, для n = 4:

Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.

Функция распределения дискретной случайной величины ступенчатая, она возрастает скачком в тех точках, вероятности которых имеют положительный знак.

Пример: Найти математическое ожидание по формуле:

Найти математическое ожидание по формуле:

Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.

Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.

 

Математическое ожидание M[X] равно:

Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.

Дисперсию найдем по формуле:

Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.

Дисперсия D[X]:

Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.

Среднее квадратическое отклонение σ(x).

Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.