Случайная величина.

Случайная величина — такая величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, при этом, появление каждого значения величины до её измерения невозможно точно угадать.

Грубое математическое определение такое: допустим — вероятностное пространство, значит случайной величиной будет называться функция , измеримая относительно  и борелевской σ-алгебры на .

Вероятностное поведение отдельной (которая не зависима от остальных) случайной величины полностью описывается распределением случайной величины.

Примеры случайных величин:

1) количество попаданий при 3-х выстрелах;

2) количество звонков, которые поступают на телефонную станцию в сутки;

3) частота попадания из 10 выстрелов.

Во всех 3-х примерах, которые приведены выше, случайные величины смогут принять отдельные, изолированные значения, и их возможно перечислить заранее.

Т.о., в первом примере это значения:

0, 1, 2, 3;

во втором примере:

1,2, 3, 4, …;

и в третьем:

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Такие случайные величины, которые принимают лишь отделенные друг от друга значения, которые возможно предугадать, называют прерывными либо дискретными случайными величинами.

Дискретная случайная величина, закон и функция распределения.

Дискретной случайная величина – у нее значения меняются скачкообразно, а не плавно, то есть могут принять лишь некоторые заранее вычисленные значения. Например, денежный выигрыш в лотерее, либо число очков когда бросаешь игральные кости, либо количество появления события из нескольких испытаниях. Количество вероятных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счётным множеством).

Сравните - непрерывная случайная величина может принять любое значение из определенного числового промежутка: например, температура воздуха в конкретный день, вес ребёнка в заданном возрасте, и др.

Закон распределения дискретной случайной величины – это перечень всех возможных значений дискретной случайной величины и соответствующих вероятностей. Сумма всех вероятностей Σp_i = 1.

Закон распределения (закон случайной величины) можно задать аналитически (при помощи формулы) и графически (при помощи многоугольника распределения, который соединяет точки (x_i; p_i).

Функция распределения случайной величины - это вероятность того, что случайная величина (пусть она будет ξ) будет принимать значение меньшее, чем заданное числовое значение x:

F(X) = P(ξ < X).

У дискретной случайной величины функция распределения случайной величины вычисляется для всех значений как сумма вероятностей, которые соответствуют каждому предшествующему значению случайной величины.

Числовые характеристики дискретных случайных величин.

• Математическое ожидание дискретной случайной величины это сумма произведений каждого её возможного значения на их вероятности: 

M(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + x_np_n

• Дисперсия дискретной случайной величины – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D(X)=(x₁ - M(X))²p₁+(x₂ - M(X))²p₂+...+(x_n- M(X))²p_n=x²₁p₁+x²₂p₂+.. + x²_np_n-[M(X)]²

• Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, или что тоже самое, стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение – это квадратный корень из дисперсии:

σ(X) = √D(X)

• Мода дискретной случайной величины Mo(X) - это значение случайной величины, которое имеет наибольшую вероятность. Иногда у распределения несколько мод.
• Коэффициент вариации случайной величины - относительная мера вариации.

V(X) = |σ(X)/M(X)| · 100%

• Асимметрия (коэффициент асимметрии) случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) As(X) – это величина, которая характеризует степень асимметрии распределения относительно математического ожидания.

Формула коэффициента асимметрии дискретной случайной величины:

As(X) = [(x₁-M(X))³p₁ + (x₂-M(X))³p₂ + ... + (x_n-M(X))³p_n]/σ³

Если коэффициент асимметрии имеет отрицательное значение, значит или большая часть значений случайной величины, или мода располагаются левее математического ожидания, и наоборот, если As(X)>0, то правее.

• Эксцесс (коэффициент эксцесса) случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) Ex(X) – это такая величина, которая характеризует степень островершинности либо плосковершинности распределения, то есть степень так называемого «выпада».

Формула коэффициента эксцесса дискретной случайной величины:

Ex(X) = [(x₁-M(X))⁴p₁ + (x₂-M(X))⁴p₂ + ... + (x_n-M(X))⁴p_n]/σ⁴ - 3

Некоторые дискретные распределения.

• Биномиальное распределение,
• Геометрическое распределение,
• Гипергеометрическое распределение,
• Распределение Пуассона,

Непрерывная случайная величина, интегральная и дифференциальная  функции распределения.

Непрерывная случайная величина принимает любое значение из определенного интервала, например, время поездки в метро, температура воздуха в каком-либо месяце, отклонение фактического размера детали от номинального, и т.д. Интервал, на котором она задана, может быть бесконечным в одну или обе стороны.

Плотность вероятности непрерывной случайной величины, что тоже самое, дифференциальная функция распределения вероятностей - аналог закона распределения дискретной случайной величины.

Однако когда закон распределения дискретной случайной величины графически изображают точками, соединенными ломаной линией (многоугольник распределения), то плотность вероятностей графически выглядит как непрерывная гладкая линия (либо кусочно-гладкую, когда на разных отрезках задают разные функции). Аналитически задают формулой.

Свойства плотности вероятности.

     1. Значения функции неотрицательны, т.е. f(x)≥0.

     2. Основное свойство плотности вероятности: несобственный интеграл от плотности вероятности в пределах от -∞ до +∞ равняется единице (геометрически  - площадь фигуры, ограниченная сверху графиком плотности вероятности, снизу - осью OX, = 1).

Функция распределения случайной величины, она же интегральная функция распределения вероятностей - это функция, которая определяет для всех значений x вероятность того, что случайная величина (ξ) примет значение меньшее, чем x: F(x) = P(ξ < x). 

Численно функция распределения имеет вид площади фигуры, которая ограничена сверху графиком плотности вероятности, снизу осью ОХ, а с боков - рассматриваемым интервалом.

Основные свойства функции распределения случайной величины.

1) Значения функции распределения лежат в интервале [0; 1], т.е. 0 ≤ F(X) ≤ 1

2) Это функция неубывающая, при x→-∞ F(X)→0, при x→+∞ F(X)→1

3) Вероятность попадания в интервал (a, b) определяют при помощи формулы F(b) - F(a).

Взаимосвязь интегральной и дифференциальной функций распределения вероятностей:

Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

• Формула математического ожидания непрерывной случайной величины:

• Формула дисперсии непрерывной случайной:

Относительно пределов интегрирования – точно так же.

• Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины, оно же стандартное отклонение либо среднее квадратичное отклонение это квадратный корень из дисперсии:

σ(X) = √D(X)

• Мода непрерывной случайной величины Mo(X) – такое значение случайной величины, которое имеет самую большую вероятность. Если в задаче нужно определить моду - находите экстремум (максимум) плотности вероятности f(x).

• Коэффициент вариации непрерывной случайной величины находят по формуле как для дискретной случайной величины:

V(X) = |σ(X)/M(X)| · 100%

• Асимметрия (коэффициент асимметрии) случайной величины As(X) - величина, которая характеризует степень асимметрии распределения относительно математического ожидания.

Формула коэффициента асимметрии непрерывной случайной величины:

• Когда коэффициент асимметрии отрицателен, значит или большая часть значений случайной величины, или мода расположены левее математического ожидания, и наоборот, если As(X)>0, то правее.
• Эксцесс (коэффициент эксцесса) случайной величины Ex(X) - величина, которая характеризует степень островершинности или плосковершинности распределения.

Формула для коэффициента эксцесса непрерывной случайной величины: