Числа. Сложение натуральных чисел. Свойства сложения натуральных чисел.

Сложение натуральных чисел основывается на сложении 2-х натуральных чисел. Сложение 3-х и больше чисел выглядит как последовательное сложение 2-х чисел. Кроме того, в силу переместительного и сочетательного свойства сложения, числа, которые складываются можно менять местами и заменять любые 2 из складываемых чисел их суммой.

Действие сложения маленьких натуральных чисел можно производить в уме либо на бумаге по разрядам слагаемых, учитывая то, что каждый полный десяток разряда это 1 единица следующего (более высокого) разряда.

Например: 235 + 672 = (200 + 600) + (30 + 70) + (5 + 2) = 907.

Складывать большие (многозначные) натуральные числа лучше методом сложения в столбик.

Сочетательное свойство сложения доказывает, что результат сложения 3-х чисел a, b и c не зависит от места скобок. Т.о., суммы a+(b+c) и (a+b)+c можно записать как a+b+c. Это выражение называется суммой, а числа a, b и c – слагаемыми.

Аналогично, в силу сочетательного свойства сложения, равны суммы (a+b)+(c+d), (a+(b+c))+d, ((a+b)+c)+d, a+(b+(c+d)) и a+((b+c)+d). Т.е., итог сложения 4-х натуральных чисел a, b, c и d не зависит от места расположения скобок. В аком случае сумму записывают как: a+b+c+d.

Если в выражении не расставлены скобки, а оно состоит из более,чем двух слагаемых, вы сами можете расставить скобки как вам больше нравится и, последовательно сложить по 2 числа, получив ответ. Т.е., процесс сложения 3-х и более чисел сводится к последовательной замене 2-х соседних слагаемых их суммой.

Для примера вычислим сумму 1+3+2+1+5. Рассмотрим 2 способа из большого количества существующих.

Первый способ. На каждом шаге заменяем первые 2 слагаемых суммой.

Т.к. сумма чисел 1 и 3 равна 4, значит:

 1+3+2+1+5=4+2+1+5 (мы заменили сумму 1+3 числом 4).

Т.к. сумма 4 + 2 равна 6, то:

4+2+1+5=6+1+5.

Т.к. сумма чисел 6 и 1 равна 7, то:

6+1+5=7+5

И последний шаг, 7+5=12. Т.о.:

1+3+2+1+5=12

Мы произвели сложение, расставив скобки следующим образом: (((1+3)+2)+1)+5.

Второй способ. Расставим скобки таким образом: ((1+3)+(2+1))+5.

Так как 1+3=4, а 2+1=3, то:

((1+3)+(2+1))+5=(4+3)+5

Сумма 4-х и 3-х равна 7, значит:

(4+3)+5=7+5.

  И последний шаг: 7+5=12.

На результат сложения 2-х, 3-х, 4-х и т.д. чисел не влияет не только расстановка скобок, но и порядок, записывания слагаемых. Т.о., при суммировании натуральных чисел можно изменять места слагаемых. Иногда это дает более рациональный процесс решения.

Свойства сложения натуральных чисел.

• Чтобы получить число, следующее за натуральным надо прибавить к нему единицу.   

        Например:               3 + 1   =   4;             39 + 1   =   40. 

• При перестановке мест слагаемых сумма не меняется:

                                        3 + 4   =   4 + 3   =   7 .   

         Это свойство сложения называется переместительным законом.   

• Сумма 3-х и более слагаемых не изменится от изменения порядка сложения чисел.   

        Например:          3 + ( 7 + 2 )     =   ( 3 + 7 ) + 2     =   12  ; 

        значит:           a + ( b + c )   =   ( a + b ) + c .   

          Поэтому вместо   3 + ( 7 + 2 )   пишут   3 + 7 + 2   и складывают числа по порядку, слева на право.   

      Это свойство сложения называют сочетательным законом сложения.   

• При прибавлении 0 к числу сумма равна самому числу.   

                                      3 + 0   =   3 . 

И наоборот, при прибавлении числа к нулю, сумма равна числу.   

                                      0 + 3   =   3;  

        значит:           a + 0   =   a ;             0 + a   =   a .   

• Если точка C разделяет отрезок АВ, то сумма длин отрезков AC и CB равна длине отрезка AB. 

 AB   =   AC + CB.   

Если                AC = 2 см     а     CB   = 3 см , 

       то                   AB   =   2 + 3   =   5 см.