Наименьшее общее кратное НОК.

Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя. Число 2 - наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа - нечётные.

Простых чисел много, и первое среди них - число 2. Однако нет последнего простого числа.

Таблица простых чисел до 1000.

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

Например:

- число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

- число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа. Делитель натурального числа a - это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным.

Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел - 12. Общий делитель двух данных чисел a и b - это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b.

Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 – тоже их общие кратные. Среди всех jбщих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК).

НОК всегда натуральное число, которое должно быть больше самого большого из чисел, для которых оно определяется.

Наименьшее общее кратное (НОК). Свойства.

- Коммутативность: 

- Ассоциативность: 

- Связь с наибольшим общим делителем gcd(a,b):

- В частности, если  и  — взаимно-простые числа, то: 

-  при

- Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n является делителем всех других общих кратных m и n. Более того, множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных для НОК(m, n).

- Асимптотики для  могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции.

Так, функция Чебышёва . А также: 

- .

Это следует из определения и свойств функции Ландау g(n).

- , что следует из закона распределения простых чисел.

Нахождение наименьшего общего кратного (НОК).

НОК(a, b) можно вычислить несколькими способами:

1. Если известен наибольший общий делитель, можно использовать его связь с НОК:

2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:

где p₁,...,p_k — различные простые числа, а d₁,...,d_k и e₁,...,e_k — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). 

Тогда НОК (a,b) вычисляется по формуле:

Другими словами, разложение НОК содержит все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений чисел a, b, причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший. 

Пример:

Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть сведено к нескольким последовательным вычислениям НОК от двух чисел:

Правило. Чтобы найти НОК ряда чисел, нужно:

— разложить числа на простые множители;

— перенести во множители искомого произведения самое большое разложение (произведение множителей самого большого числа из заданных), а потом добавить множители из разложения других чисел, которые не встречаются в первом числе или стоят в нем меньшее число раз;

— полученное произведение простых множителей будет НОК заданных чисел.

Любые два и более натуральных чисел имеют свое НОК. Если числа не кратны друг другу или не имеют одинаковых множителей в разложении, то их НОК равно произведению этих чисел.

Простые множители числа 28 (2, 2, 7) дополнили множителем 3 (числа 21), полученное произведение (84) будет наименьшим числом, которое делится на 21 и 28 .

Простые множители наибольшего числа 30 дополнили множителем 5 числа 25, полученное произведение 150 больше самого большого числа 30 и делится на все заданные числа без остатка. Это наименьшее произведение из возможных (150, 250, 300...), которому кратны все заданные числа.

Числа 2,3,11,37 — простые, поэтому их НОК равно произведению заданных чисел.

 Правило. Чтобы вычислить НОК простых чисел, нужно все эти числа перемножить между собой.

Еще один вариант:

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел нужно:

 1)  представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

2)  записать степени всех простых множителей:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2³ · 3² · 7¹,

3)  выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;   

  4)  выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5)  перемножить эти степени.

Пример .  Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.

Решение .        168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2³ · 3¹ · 7¹ ,

                        180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2² · 3² · 5¹ ,

                        3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2⁴  · 3³  · 7¹ .

Выписываем наибольшие степени всех простых делителей и перемножаем их:

НОК = 2⁴ · 3³ · 5¹ · 7¹ = 15120.