Простое число — это целое число (положительное) из разряда натуральных чисел, которое имеет только 2 разных натуральных делителя. Если сказать по-другому, число p тогда будет простым, когда оно больше единицы и может быть разделено лишь на единицу и на себя самого - p.

Натуральные числа, большие единицы и числа, которые не являются простыми, называют составными числами. Т.о., все натуральные числа делятся на 3 класса: единица (имеет 1 делитель), простые числа (имеют 2 делителя) и составные числа (имеют больше 2-х делителей).

 

Начало последовательности простых чисел выглядит так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …

 

Таблица простых чисел до 10 000.

 

Если представить натуральные числа как произведение простых, то это будет называться разложение на простые либо факторизация числа.

 

Самое большое простое число, которое известно.

Самое большое известное простое число - это 257885161 - 1. Это число состоит из 17 425 170 десятичных цифр и называется простое число Мерсенна (M57885161).

 

Некоторые свойства простых чисел.

Допустим, p — простое, и p делит ab, тогда p делит a либо b.

Кольцо вычетов Zn будет называться полем только в случае, если n — простое.

Характеристика всех полей — это нуль либо простое число.

Когда p — простое, а a — натуральное, значит, ap-a можно поделить на p (малая теорема Ферма).

Когда G — конечная группа, у которой порядок |G| делят на p, значит, у G есть элемент порядка p (теорема Коши).

Когда G — конечная группа, и pn — самая высокая степень p, делящая |G|, значит,  у G есть подгруппа порядка pn, которая называется силовская подгруппа, кроме того, число силовских подгрупп соответствует pk+1 для некоего целого k (теоремы Силова).

Натуральное p > 1 будет простым лишь в случае, если (p-1)! + 1 можно подулить на p (теорема Вильсона).

Когда n > 1 — натуральное, значит, есть простое p: n < p < 2 n (постулат Бертрана).

Ряд чисел, которые обратны к простым, расходится. Кроме того, при Числа. Простые числа..

Числа. Простые числа.

Всякая арифметическая прогрессия типа  a, a + q, a + 2 q, a + 3 q, ... , где  a, q > 1 — целые взаимно простые числа, содержит нескончаемое число простых чисел (Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии).

Любое простое число, которое большее тройки, можно представить как 6k+1 либо 6k-1, где k — натуральное число. Исходя из этого, когда разность нескольких последовательных простых чисел (при k>1) одинаковая, значит, она точно делится на шесть — к примеру: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.

Когда p > 3 — простое число, значит, p2-1 делится на 24 (работает и на нечётных чисел, которые не делятся на три).

Теорема Грина-Тао. Есть бесконечные арифметические прогрессии, которые состоят из простых чисел.

Ни одно простое число нельзя представить как nk-1, где n>2, k>1. Другими словами, число, которое следует за простым, не может быть квадратом либо более высокой степенью с основанием, которое больше двух. Можно сделать вывод, что когда простое число представлено как 2k-1, значит k — простое.

Ни одно простое число нельзя представить как n2k+1+1, где n>1, k>0. Другими словами, число, которое предшествует простому, не может быть кубом либо более высокой нечётной степенью с основанием, которое больше единицы.

Есть многочлены, у которых множество неотрицательных значений при положительных значениях переменных совпадает с множеством простых чисел. Пример:

 

Числа. Простые числа.

 

Этот многочлен содержит 26 переменных, имеет 25. Самая низкая степень для известных многочленов представленного вида  — пять при 42 переменных; самое маленькое количество переменных — десять при степени приблизительно 1,6·1045

 

Действия с простыми числами.

1. Произведение простых чисел.

2. Разность простых чисел.

3. Сумма простых чисел.

4. Деление простых чисел.