Целые числа будут взаимно простыми, когда у них не будет ни одного общего делителя (множителя), не считая ±1.

Примеры:

14, 25 взаимно простые — не существует общих делителей.

15, 25 не взаимно простые (общий делитель 5).

6, 8, 9 взаимно простые — не существует делителей, общих для 3-х чисел.

Пример: расстановим на плоскости точки с целыми координатами нулевой толщины, так чтобы из начала координат были видны лишь точки, у которых координаты взаимно просты.

Числа. Взаимно простые числа.

Числа 4 и 9 взаимно простые, значит, диагональ решетки 4 на 9 не пересекает других точек решетки.

Целые числа a1, a2, …, ak, k>2 будут взаимно простыми, когда НОД этих чисел будет 1.

 

Свойства взаимно простых чисел.

Числа a и b взаимно просты лишь в том случае, если выполняется одно из эквивалентных условий:

  • НОД a и b =1.
  • Есть целые x и y с условием ax+by=1 (соотношение Безу).

Всякие 2 (разных) простых числа всегда будут взаимно простыми.

Когда a — делитель произведения bc, и a взаимно просто с b, значит a — делитель c.

Когда числа a1,…, an — попарно взаимно простые числа, значит наименьшее общее кратное

(a1, …, an) = |a1·…·an|.

К примеру, НОК(9,11)=911=99.

Возможность того, что любое k, которое выбрано случайным образом, положительных целых чисел окажутся взаимно простыми, соответствует 1/ζ(k), при этом, при N→∞ возможность того, что k положительных целых чисел, которые меньше N (и которые выбраны случайно) окажутся взаимно простыми, стремится к 1/ζ(k).

Когда в наборе чисел всякие 2 взаимно просты, значит эти числа являются попарно взаимно простыми. Для 2-х чисел выражения «взаимно простые» и «попарно взаимно простые» - это одно и то же.

2 натуральных числа, которые расположены рядом, всегда взаимно просты.

 

Примеры взаимно простых чисел:

8, 15 — взаимно простые, но не простые.

6, 8, 9 — не попарно взаимно простые, но взаимно простые числа.

8, 15, 49 — попарно взаимно простые.

 

Применение взаимно простых чисел.

Зачастую количество зубьев на звёздочках и количество звеньев цепи в цепной передаче стараются сделать взаимно простыми. Это дает более равномерный износ: все зубья звёздочки будут по очереди работать с каждым из звеньев цепи.