Абсолютная величина либо модуль числа a — положительное число, которое зависит от вида числа a. Обозначают как:  |a|.

 

Модуль положительного действительного числа a – это само это число. Число в модуле:

 

|а| = а

 

Модуль отрицательного действительного числа а – это противоположное ему число:

 

|а| = - а

 

В общем случае запись модуля числа выглядит так:

 

Числа. Модуль числа.

 

Геометрически, модуль числа а - это расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

 

Модулем числа 5 будет 5, т.к. точка В(5) отстоит от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Записывают так: |5| = 5.

 

Расстояние точки М(-6) от начала отсчета О соответствует 6 единичным отрезкам. Число 6 есть модуль числа -6. Записывают так: |-6| = 6.

Числа. Модуль числа.

 

Модуль числа бывает только положительным. Если рассматривать положительное число и нуль, то модуль их будет равен им же, а если рассматривать отрицательное число – то модуль равен противоположному числу. У противоположных чисел одинаковые модули:

|-а| = |а|

 

Модуль нуля равен нулю, т.к. точка с координатой нуль совпадает с началом отсчета 0, то есть удалена от нее на 0 единичных отрезков:

|0| = 0

 

Просмотрев определение модуля числа можно сделать вывод, что модуль числа соответствует числу под знаком модуля, не учитывая знак. Это утверждение поясняет из-за чего модуль числа иногда употребляется под значением абсолютной величины числа. Таким образом, модуль числа и абсолютная величина числа – это тоже самое.

 

К примеру, модуль целого числа −7 можно записать как Числа. Модуль числа.; модуль рационального числа 4,125 записывается как Числа. Модуль числа., а модуль иррационального числа Числа. Модуль числа. имеет запись вида Числа. Модуль числа..

 

Свойства модуля.

  • Модуль числа не бывает отрицательным. Для любого числа а это свойство можно показать так: Числа. Модуль числа.. Его просто объяснить: модуль числа это расстояние, а расстояние не бывает отрицательным.
  • Модуль числа равен нулю только в том случае, если это число само по себе нуль. Нуль это начало отсчета, ни одна больше точка на координатной прямой не равна нулю, т.к. каждому действительному числу соответствует только одна точка на координатной прямой. Именно по этому всякому числу, которое не равно нулю, соответствует точка, которая не является началом отсчета. Выше расписанные рассуждения показывают, что нулю равен только модуль нуля.
  • У противоположных чисел одинаковые модули, т.е., Числа. Модуль числа. для вского числа a. И правда, две точки на координатной прямой, у которых координаты это противоположные числа, располагаются на одном расстоянии от начала отсчета, то есть модули противоположных чисел одинаковы.
  • Модуль произведения 2-х чисел равняется произведению модулей этих чисел, т.е., Числа. Модуль числа.. Модуль произведения чисел a и b равняется или a·b, когда a·b≥0, или −(a·b), когда a·b<0. Исходя из правил умножения действительных чисел, можно сделать вывод, что произведение модулей чисел a и b равняется или a·b, a·b≥0, или −(a·b), когда a·b<0.
  • Модуль частного от деления a на b равняется частному от деления модуля числа a на модуль числа b, т.е., Числа. Модуль числа.. Объяснение: т.к. частное Числа. Модуль числа. равнется произведению Числа. Модуль числа., значит Числа. Модуль числа.. Исходя из предыдущего свойства получаем Числа. Модуль числа.. Далее воспользуемся равенством Числа. Модуль числа., которое является истинным в силу определения модуля числа.
  • Числа. Модуль числа., где a, b и c – любые действительные числа. Данное неравенство является неравенством треугольника. Докажем: пусть есть точки A(a), B(b), C(c) на координатной прямой, рассмотрим вырожденный треугольник АВС. У него вершины находятся на одной прямой. По определению модуля разности Числа. Модуль числа. равен длине отрезка АВ, Числа. Модуль числа. - длине отрезка АС, а Числа. Модуль числа. - длине отрезка СВ. Т.к. длина любой стороны треугольника не превышает суммы длин 2-х других сторон, то справедливо неравенство Числа. Модуль числа., то есть, справедливо и неравенство Числа. Модуль числа..
  • Числа. Модуль числа.. Это неравенство обычно исследуют в виде отдельного свойства модуля с формулировкой: «Модуль суммы двух чисел не больше суммы модулей этих чисел». Однако неравенство Числа. Модуль числа. следует из неравенства Числа. Модуль числа., если в нем вместо b взять −b, и принять c=0.

 

Каждое свойство модуля, сформулированное в любом пункте, справедливо и для комплексных чисел.

 

Модуль комплексного числа.

Предположим, есть комплексное число, которое записано в алгебраическом виде z=x+i·y, где x и y – действительные числа, которые представляют собой  действительную и мнимую части комплексного числа z, а Числа. Модуль числа. – мнимая единица.

 

Модулем комплексного числа z=x+i·y является арифметический квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части комплексного числа.

 

Модуль комплексного числа z обозначают так Числа. Модуль числа., значит, определение модуля комплексного числа можно записать так: Числа. Модуль числа..

Свойства модуля комплексных чисел.

  • Область определения: вся комплексная плоскость.
  • Область значений:  [0;+∞).
  • Модуль как комплексная функция не дифференцируется ни в одной точке, так как условия Коши-Римана не выполнены.

 

Модуль рационального числа.

Модулем рационального числа является расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, которая соответствует этому числу.

 

Модуль рационального числа, примеры:

|-4,8| = 4,8

|0| = 0

|-3/8| = |3/8|

 

Модуль вещественных чисел .

  • Область определения: (−∞;+∞).
  • Область значений:  [0;+∞).
  • Функция чётная.
  • Функция дифференцируется везде, кроме нуля. В точке x=0 функция претерпевает излом.