Комплексные числа (мнимые числа) — числа, которые имеют вид: x+iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица (величина, для которой выполняется равенство: i2 = -1).
Множество всех комплексных чисел с арифметическими операциями есть поле и обычно обозначают как 
.
Мнимое число (либо чисто мнимое число) — комплексное число с действительной частью, равной нулю. Раньше этим термином обозначали комплексные числа.
Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:
Например, построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
, 
.
Действия над комплексными числами.
- Сравнение.
a + bi = c + di
означает, что a = c и b = d (2 комплексных числа равны между собой только в том случае, если равны их действительные и мнимые части).
- Сложение.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Для комплексных чисел работает правило 1-го класса: z1 + z2 = z2 + z1 – от перестановки слагаемых сумма не меняется.
Пример:
Сложим 2 комплексных числа z1 = 1 + 3i, z2 = 4 – 5i.
Для того чтобы сложить 2 комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
- Вычитание.
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.
Пример:
Найдем разность комплексных чисел z1 – z2 и z2 – z1, с учетом того, что z1 = -2 + i, 
.
Действие аналогично сложению, отличие только в том, что вычитаемое берем в скобки, а потом – как обычно раскрываем их со сменой знака:
У числа, которое мы получили 2, а не 3 части. Так как действительная часть является составной: 
. Что было понятней ответ перепишем так: 
.
Рассчитываем 2-ю разность:
Здесь действительная часть тоже составная: 
.
Приведем короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: 
. В этом случае без скобок никак не обойтись.
- Умножение.
(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac - bd) + (bc + ad)i.
Пример:
Найдем произведение комплексных чисел 
, 
Записываем произведение:
Раскрываем скобки, как обычно. Обратите внимание, что 
и будьте внимательны.
Напомним: Чтобы умножить многочлен на многочлен надо все члены 1-го многочлена умножить на каждый член другого многочлена.
Распишем подробно:
Очевидно, что 
.
Как и в сумме, в произведении комплексных чисел работает перестановочный закон: 
.
Произведение 2-х сопряжённых комплексных чисел равно положительному действительному числу.
- Деление.
Разделить комплексное число a + bi (делимое) на другое c + di (делитель) - значит найти третье число e + fi (частное), которое будучи умноженным на делитель c + di, дает делимое a + bi.
Если делитель ненулевой, деление всегда возможно.
Например:
Есть комплексные числа 
, 
. Найдем частное 
.
Составим частное:
Деление чисел производится способом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.
Напомним, что 
и смотрим на наш знаменатель: 
. В знаменателе уже имеется 
, поэтому сопряженным выражением в данном случае оказывается 
, т.е. 
.
Из правила, знаменатель необходимо домножить на 
, и, чтобы ничего не изменилось, умножить числитель на такое же число :
Дальше в числителе раскрываем скобки. А в знаменателе пользуемся формулой (при ).
Распишем пошагово:
Часто перед делением дробь лучше упростить.
- В частности,
Свойства комплексных чисел.
1. Основная теорема алгебры.
У всех, не являющихся константой многочленов (от одной переменной) с комплексными коэффициентами есть как минимум 1 корень в поле комплексных чисел.
2. Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел.
Эта формула помогает возводить в целую степень комплексное число, не равное нулю, которое представлено в тригонометрической форме.
Формула Муавра имеет вид:
где r — модуль, а φ — аргумент комплексного числа.
Аналогичная формула применяется также и при вычислении корней n-ой степени из комплексного числа, не равного нулю:
Заметим, что корни n-й степени из комплексного числа, не равного нулю, всегда есть, и их чило равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни оказываются вершинами правильного n-угольника, который вписан в окружность радиуса с центром в начале координат.
Например, корни 5-ой степени из единицы (вершины пятиугольника):
Разбор ЕГЭ 2013 по математике. Задание С1
