Комплексные числа (мнимые числа) — числа, которые имеют вид: x+iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица (величина, для которой выполняется равенство: i2 = -1).

Множество всех комплексных чисел с арифметическими операциями есть поле и обычно обозначают как Числа Комплексные мнимые числа.

 

Мнимое число (либо чисто мнимое число) — комплексное число с действительной частью, равной нулю. Раньше этим термином обозначали комплексные числа.

 

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:


Числа Комплексные мнимые числа

 

Например, построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

 

Числа Комплексные мнимые числа, Числа Комплексные мнимые числа, Числа Комплексные мнимые числа,

Числа Комплексные мнимые числа, Числа Комплексные мнимые числа, Числа Комплексные мнимые числа,

Числа Комплексные мнимые числа, Числа Комплексные мнимые числа, Числа Комплексные мнимые числа, Числа Комплексные мнимые числа.

 

Числа Комплексные мнимые числа

 

Действия над комплексными числами.

  • Сравнение.

a + bi = c + di

означает, что a = c и b = d (2 комплексных числа равны между собой только в том случае, если равны их действительные и мнимые части).

  • Сложение.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Для комплексных чисел работает правило 1-го класса: z1 + z2 = z2 + z1 – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Пример:

Сложим 2 комплексных числа z1 = 1 + 3i, z2 = 4 – 5i.

Для того чтобы сложить 2 комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Числа Комплексные мнимые числа

  • Вычитание.

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.

Пример:

Найдем разность комплексных чисел z1z2 и z2z1, с учетом того, что z1 = -2 + i, Числа Комплексные мнимые числа.

Действие аналогично сложению, отличие только в том, что вычитаемое берем в скобки, а потом – как обычно раскрываем их со сменой знака:

Числа Комплексные мнимые числа

 

У числа, которое мы получили 2, а не 3 части. Так как действительная часть является составной: Числа Комплексные мнимые числа. Что было понятней ответ перепишем так: Числа Комплексные мнимые числа.

Рассчитываем 2-ю разность:

Числа Комплексные мнимые числа


Здесь действительная часть тоже составная: Числа Комплексные мнимые числа.

Приведем короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: Числа Комплексные мнимые числа. В этом случае без скобок никак не обойтись.

  • Умножение.

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac - bd) + (bc + ad)i.

Пример:

Найдем произведение комплексных чисел Числа Комплексные мнимые числа, Числа Комплексные мнимые числа

Записываем произведение:

Числа Комплексные мнимые числа

Раскрываем скобки, как обычно. Обратите внимание, что Числа Комплексные мнимые числа и будьте внимательны.

Напомним: Чтобы умножить многочлен на многочлен надо все члены 1-го многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Распишем подробно:

Числа Комплексные мнимые числа

Очевидно, что Числа Комплексные мнимые числа.

Как и в сумме, в произведении комплексных чисел работает перестановочный закон: Числа Комплексные мнимые числа.

Произведение 2-х сопряжённых комплексных чисел равно положительному действительному  числу.

  • Деление.

Числа Комплексные мнимые числа

 

Разделить комплексное число  a + bi (делимое) на другое c + di (делитель) - значит найти третье число  e + fi  (частное), которое будучи умноженным на делитель c + di,  дает делимое  a + bi.

Если делитель ненулевой, деление всегда возможно.

Например:

Есть комплексные числа Числа Комплексные мнимые числа, Числа Комплексные мнимые числа. Найдем частное Числа Комплексные мнимые числа.

Составим частное:

Числа Комплексные мнимые числа

 

Деление чисел производится способом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Напомним, что Числа Комплексные мнимые числа и смотрим на наш знаменатель: Числа Комплексные мнимые числа. В знаменателе уже имеется Числа Комплексные мнимые числа, поэтому сопряженным выражением в данном случае оказывается Числа Комплексные мнимые числа, т.е. Числа Комплексные мнимые числа.

Из правила, знаменатель необходимо домножить на Числа Комплексные мнимые числа, и, чтобы ничего не изменилось, умножить числитель на такое же число Числа Комплексные мнимые числа:

Числа Комплексные мнимые числа

 

Дальше в числителе раскрываем скобки. А в знаменателе пользуемся формулой Числа Комплексные мнимые числа (при Числа Комплексные мнимые числа).

Распишем пошагово:

Числа Комплексные мнимые числа

 

Часто перед делением дробь лучше упростить.

  • В частности,

Числа Комплексные мнимые числа

 

Свойства комплексных чисел.

1. Основная теорема алгебры.

У всех, не являющихся константой многочленов (от одной переменной) с комплексными коэффициентами есть как минимум 1 корень в поле комплексных чисел.

2. Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел.

Эта формула помогает возводить в целую степень комплексное число, не равное нулю, которое представлено в тригонометрической форме.

Формула Муавра имеет вид:

Числа Комплексные мнимые числа

 

где rмодуль, а φ — аргумент комплексного числа.

 

Аналогичная формула применяется также и при вычислении корней n-ой степени из комплексного числа, не равного нулю:

 

Числа Комплексные мнимые числа

Числа Комплексные мнимые числа

Числа Комплексные мнимые числа

 

Заметим, что корни n-й степени из комплексного числа, не равного нулю, всегда есть, и их чило равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни оказываются вершинами правильного n-угольника, который вписан в окружность радиуса  с центром в начале координат.

 

Например, корни 5-ой степени из единицы (вершины пятиугольника):

Числа Комплексные мнимые числа