Комплексным числом z является пара действительных чисел x и y, упорядоченная.
Рассматривать будем на таком примере:
Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:
Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:
Что и требовалось доказать.
Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: 
.
Такие корни являются сопряженными комплексными корнями.
Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:
, 
,
,
,
и т.д.
В каждом случае получаем 2 сопряженных комплексных корня.
Пример:
Решим квадратное уравнение 
.
Первым шагом определим дискриминант уравнения:
В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:
Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня:
– сопряженные комплексные корни
Т.о., у уравнения есть 2 сопряженных комплексных корня:
,
Теперь можно решить любое квадратное уравнение!
Обратите внимание!
У любого уравнения с многочленом n-ой степени 
есть ровно n корней, некоторые из них могут быть комплексными.
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?
Рассмотрим уравнение zn = w, либо, записав в другом виде: 
. Здесь n может принимать всякое натуральное значение, которое больше 1-цы.
В частности, при n = 2 получаем квадратный корень 
.
У уравнения типа есть ровно n корней z0, z1, z2, … zn-1, которые можно вычислить с помощью формулы:
,
где 
– это модуль комплексного числа w,
φ – его аргумент,
а параметр k принимает значения: 
.
Пример:
Найдем корни уравнения: 
.
Перепишем уравнение как: 
.
В этом примере 
, 
, поэтому у уравнения будет 2 корня: z0 и z1. Детализируем общую формулу:
, 
.
Далее найдем модуль и аргумент комплексного числа :
Число w находится в 1-ой четверти, значит:
Помним, что определяя тригонометрическую форму комплексного числа лучше делать чертеж.
Детализируем еще немного общую формулу:
, .
Так подобно расписывать не обязательно. Здесь мы это сделали, что бы было ясно откуда что образовалось.
Подставляем в формулу значение k = 0 и получаем 1-й корень:
.
Подставляем в формулу значение k = 1 и получаем 2-й корень:
.
Ответ: 
, 
Если необходимо, корни, которые мы получили можно перевести обратно в алгебраическую форму.
Часто вычисленные корни нужно изобразить геометрически:
Как выполнить чертеж?
Для начала на калькуляторе вычисляем, чему равен модуль корней 
и чертим с помощью циркуля окружность этого радиуса. Все корни будем откладывать на данной окружности.
Далее берем аргумент 1-го корня 
и вычисляем, чему равен угол в градусах:
.
Отмеряем транспортиром 45° и ставим на чертеже точку z0.
Берем аргумент 2-го корня 
и переводим его тоже в градусы: 
. Отмеряем транспортиром 165° и ставим на чертеже точку z1.
По этому же алгоритму ставим точку z2.
Видно, что корни располагаются геометрически правильно с интервалом 
между радиус-векторами. Чертеж обязательно делать при помощи транспортира.
Разбор ЕГЭ 2013 по математике. Задание С1
