Комплексным числом z является пара действительных чисел x и y, упорядоченная.

 

Рассматривать будем на таком примере:

Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями

 

Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа  нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:

Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями

Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями

 

Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:

 

Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями

Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями

Что и требовалось доказать.

Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями.

Такие корни являются сопряженными комплексными корнями.

Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:

 

Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями, Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями,

Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями,

Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями,

Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями 

и т.д.

В каждом случае получаем 2 сопряженных комплексных корня.

 

Пример:

Решим квадратное уравнение Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями.

Первым шагом определим дискриминант уравнения:


Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями

 

В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:

 

Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями

 

Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня:

 

Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями

Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями – сопряженные комплексные корни

Т.о., у уравнения Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями есть 2 сопряженных комплексных корня:

 

Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями,

Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями

Теперь можно решить любое квадратное уравнение!

Обратите внимание!

У любого уравнения с многочленом n-ой степени Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями есть ровно n корней, некоторые из них могут быть комплексными.

 

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение zn = w, либо, записав в другом виде: Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями. Здесь n может принимать всякое натуральное значение, которое больше 1-цы.

В частности, при n = 2 получаем квадратный корень Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями.

У уравнения типа Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями есть ровно n корней ­z0, z1, z2, … zn-1, которые можно вычислить с помощью формулы:


Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями,

где Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями – это модуль комплексного числа w,

φ – его аргумент,

а параметр k принимает значения: Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями.

 

Пример:

Найдем корни уравнения: Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями.

Перепишем уравнение как: Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями.

В этом примере Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнямиЧисла Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями, поэтому у уравнения будет 2 корня: z0 и z1. Детализируем общую формулу:

 

Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями, Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями.

 

Далее найдем модуль и аргумент комплексного числа Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями:


Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями


Число w находится в 1-ой четверти, значит:


Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями


Помним, что определяя тригонометрическую форму комплексного числа лучше делать чертеж.

Детализируем еще немного общую формулу:


Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями, Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями.

 

Так подобно расписывать не обязательно. Здесь мы это сделали, что бы было ясно откуда что образовалось.

Подставляем в формулу значение k = 0 и получаем 1-й корень:

 

Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями.

 

Подставляем в формулу значение k = 1 и получаем 2-й корень:

 

Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями.

 

Ответ: Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями, Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями

 

Если необходимо, корни, которые мы получили можно перевести обратно в алгебраическую форму.

 

Часто вычисленные корни нужно изобразить геометрически:


Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями


Как выполнить чертеж?

Для начала на калькуляторе вычисляем, чему равен модуль корней  Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями и чертим с помощью циркуля окружность этого радиуса. Все корни будем откладывать на данной окружности.

Далее берем аргумент 1-го корня Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями и вычисляем, чему равен угол в градусах:

 

Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями.

 

Отмеряем транспортиром 45° и ставим на чертеже точку z0.

Берем аргумент 2-го корня Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями и переводим его тоже в градусы: Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнями. Отмеряем транспортиром 165° и ставим на чертеже точку z1.

По этому же алгоритму ставим точку z2.

Видно, что корни располагаются геометрически правильно с интервалом Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с комплексными корнямимежду радиус-векторами. Чертеж обязательно делать при помощи транспортира.