Многочлен (полином) - сумма одночленов, являющимися произведениями, которые состоят из числового множителя (коэффициента) и 1-ой либо нескольких букв, каждая из них взята с тем либо другим показателем степени.

В общем виде, многочлен выглядит так:

Pn(x)=аnхn+an-1xn-1n-2хn-2+....+а2х2+a1х+а0,

 

где а0....аn-1, аn - коэффициенты многочлена.

 

Степень многочлена - высочайший показатель степени в этой сумме с коэффициентом, не равным нулю.

К примеру, Р4(х)=2x4-3x3+x2+х+5 - это многочлен со степенью 4. В этом примере значения многочлена при х=0; 1 и 2 равны Р4(0)=5, Р4(1)=6, Р4(2)=19 соответственно.

Многочлен можно представить в виде графика, отмечая значения у=Рn(х) на графике в соответствии со значениями х.

 

5x3y – 7x8y2+5 – степень этого многочлена = 10.

0 – степень этого (нулевого) многочлена неопределена.

 

График многочлена со степенью семь:

Описание: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Septic_graph.svg/626px-Septic_graph.svg.png

 

Еще одно определение:

Многочлен - это алгебраическая сумма одночленов. Степень многочлена - это самая большая из степеней одночленов, которые входят в этот многочлен.

 

Умножение сумм и многочленов. Произведение суммы 2-х либо нескольких выражений на всякое выражение равняется сумме произведений всех из слагаемых на это выражение:

 (p+ q+ r) a = pa + qa + ra - раскрытие скобок.

 Вместо букв p, q, r, a можно взять всякое выражение.

 

К примеру:

(x+y+z)(a+b) = x(a+b) + y(a+b) + z(a+b) =

= xa + xb + ya + yb + za + zb .

 

Произведение сумм равняется сумме каждого возможного произведения всех слагаемых 1-ной суммы на все слагаемое другой суммы.

 

Одночлены, которые входят в состав многочлена, являются его членами. Членами многочлена 4x3y – 3ab будут 4x3y и –3ab.

 

Если многочлен состоит из 2-х членов, то он называется двучленом:

 

5x3y – 7a3b4; y+5b4; 7a2+13a4.

 

Если из 3-х – трехчленом:

 

5x3y – 7a3b4+5; y+5b4– 3x3; 7a2+13a4+5ab2.

 

Одночлен является многочленом, который состоит из одного члена:

 

2x2; 3; 0; 7x3y4.

 

Похожие слагаемые в многочлене являются подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене – приведением подобных членов многочлена. К примеру:

 

5x3y – 7x3y+5 = – 2x3y+5;

17ay2 – 7ay2+5ay2+a = 15ay2+a.

 

 Когда каждый одночлен в многочлене приведен к стандартному виду и среди них нет подобных, то такой многочлен является многочленом стандартного вида.

 

нестандартный вид                            стандартный вид

5x2yx – 7xyx2+5axa              =             5a2x – 2x3y.

 

 Любой многочлен можно привести к стандартному виду:

 

нестандартный вид                                  стандартный вид

22a3b – 12a3b+5aba2+5ab          =           15a3b+5ab.