Тригонометрия — раздел в математику, изучающий тригонометрические функции и их использование в геометрии.

 

Определение тригонометрических функций.

Тригонометрические функции изначально связывались с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. У них есть только один аргумент угол (1-н из острых углов треугольника).

 

Соотношения сторон и их связь с функциями:

  • Синус — противолежащий катет к гипотенузе.
  • Косинус — прилежащий катет к гипотенузе.
  • Тангенс — противолежащий катет к прилежащему.
  • Котангенс — прилежащий катет к противолежащему.
  • Секанс — гипотенуза к прилежащему катету.
  • Косеканс — гипотенуза к противолежащему катету.

 

Благодаря этим определениям легко вычислять значение функций для острых углов, т.е. в интервале 0 - 90° (0 - π/2 рад.).

 

Свойства тригонометрических функций.

Свойства синуса.

  • Область определения функции — множество всех действительных чиселD(y)=R.
  • Множество значений — интрервал [−1; 1]: E(y) = [−1;1].
  • Функция y=sin(α) - нечетная: sin(−α)=−sinα.
  • Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует 2π: sin(α+2π)=sin(α).
  • График функции пересекает ось Ох при α=πn,nZ.
  • Промежутки знакопостоянства: y>0 при (2πn+0;π+2πn),nZ и y<0 при (π+2πn;2π+2πn),nZ.
  • Функция является непрерывной и у нее есть производная с любым значением аргумента: (sinα)′=cosα.
  • Функция y=sinα возрастает при α(−π/2+2πn;π/2+2πn) nZ, и убывает при α(π2+2πn;3π2+2πn), nZ.
  • Минимум функции при α=−π/2+2πn, n∈Z, а максимум при α=π/2+2πn, n∈Z.

 

Тригонометрия. Свойства, графики тригонометрических функций.

 

Свойства косинуса.

  • Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y)=R.
  • Множество значений — интервал [−1; 1]: E(y) = [−1;1].
  • Функция y=cos(α) - четная: cos(−α)=cosα.
  • Функция периодическая, самый маленький неотрицательный период соответствует : cos(α+2π)=cos(α).
  • График функции пересекает ось Ох при α=π/2+πn,nZ.
  • Промежутки знакопостоянства: y>0 при (−π/2+2πn;π/2+2πn),nZ и y<0 при (π/2+2πn;3π/2+2πn),nZ.
  • Функция является непрерывной, у нее есть производная с любым значением аргумента: (cosα)′=−sinα.
  • Функция y=cosα возрастает при α(−π+2πn;2πn),nZ, и убывает при α(2πn;π+2πn),nZ.
  • У функции есть минимум при α=π+2πn,nZ, а максимум при α=2πn,nZ.

 

Тригонометрия. Свойства, графики тригонометрических функций.

 

Свойства тангенса.

  • Область определения функции — множество действительных чисел: D(y)=R, исключая числа α=π/2+πn.
  • Множество значений — множество действительных чисел: E(y)=R.
  • Функция y=tg(α) - нечтная: tg(−α)=−tg α.
  • Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует π: tg(α+π)=tg(α).
  • График функции пересекает ось Ох при α=πn,nZ.
  • Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn),nZ и y<0 при (−π/2+πn;πn),nZ.
  • Функция является непрерывной, есть производная с любым значением аргумента из области определения: (tgx)′=1/cos2x.
  • Функция y=tg α возрастает при α(−π/2+πn;π/2+πn),nZ.

 

Тригонометрия. Свойства, графики тригонометрических функций.

 

Свойства котангенса.

  • Область определения функции — множество действительных чисел: D(y)=R, исключая числа α=πn.
  • Множество значений — множество действительных чисел: E(y)=R.
  • Функция y=ctg(α) - нечетная: ctg(−α)=−ctg α.
  • Функция периодическая, самый маленький неотрицательный период равен π: ctg(α+π)=ctg(α).
  • График функции пересекает ось Ох при α=π/2+πn,nZ.
  • Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn),nZ и y<0 при (π/2+πn;π(n+1)),nZ.
  • Функция является непрерывной, есть производная в любом значении аргумента из области определения: (ctgx)′=−1/sin2x.
  • Функция y=ctg α убывает при α(πn;π(n+1)),nZ.

 

Тригонометрия. Свойства, графики тригонометрических функций.

 

 

Формулы приведения.

Основные тригонометрические тождества.

Тригонометрические функции. Значение тригонометрических функций.

Тригонометрические функции. Выражение и преобразование тригонометрических функций формулы.

Тригонометрические формулы.

Тождество. Тождественные преобразования. Примеры.

Обратные тригонометрические функции.

Теорема косинусов.

Теорема синусов.