Тригонометрия — раздел в математику, изучающий тригонометрические функции и их использование в геометрии.
Определение тригонометрических функций.
Тригонометрические функции изначально связывались с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. У них есть только один аргумент угол (1-н из острых углов треугольника).
Соотношения сторон и их связь с функциями:
- Синус — противолежащий катет к гипотенузе.
- Косинус — прилежащий катет к гипотенузе.
- Тангенс — противолежащий катет к прилежащему.
- Котангенс — прилежащий катет к противолежащему.
- Секанс — гипотенуза к прилежащему катету.
- Косеканс — гипотенуза к противолежащему катету.
Благодаря этим определениям легко вычислять значение функций для острых углов, т.е. в интервале 0 - 90° (0 - π/2 рад.).
Свойства тригонометрических функций.
Свойства синуса.
- Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y)=R.
- Множество значений — интрервал [−1; 1]: E(y) = [−1;1].
- Функция y=sin(α) - нечетная: sin(−α)=−sinα.
- Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует 2π: sin(α+2π)=sin(α).
- График функции пересекает ось Ох при α=πn,n∈ Z.
- Промежутки знакопостоянства: y>0 при (2πn+0;π+2πn),n∈Z и y<0 при (π+2πn;2π+2πn),n∈Z.
- Функция является непрерывной и у нее есть производная с любым значением аргумента: (sinα)′=cosα.
- Функция y=sinα возрастает при α∈(−π/2+2πn;π/2+2πn) n∈Z, и убывает при α∈(π2+2πn;3π2+2πn), n∈Z.
- Минимум функции при α=−π/2+2πn, n∈Z, а максимум при α=π/2+2πn, n∈Z.
Свойства косинуса.
- Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y)=R.
- Множество значений — интервал [−1; 1]: E(y) = [−1;1].
- Функция y=cos(α) - четная: cos(−α)=cosα.
- Функция периодическая, самый маленький неотрицательный период соответствует 2π: cos(α+2π)=cos(α).
- График функции пересекает ось Ох при α=π/2+πn,n∈Z.
- Промежутки знакопостоянства: y>0 при (−π/2+2πn;π/2+2πn),n∈Z и y<0 при (π/2+2πn;3π/2+2πn),n∈Z.
- Функция является непрерывной, у нее есть производная с любым значением аргумента: (cosα)′=−sinα.
- Функция y=cosα возрастает при α∈(−π+2πn;2πn),n∈Z, и убывает при α∈(2πn;π+2πn),n∈Z.
- У функции есть минимум при α=π+2πn,n∈Z, а максимум при α=2πn,n∈Z.
Свойства тангенса.
- Область определения функции — множество действительных чисел: D(y)=R, исключая числа α=π/2+πn.
- Множество значений — множество действительных чисел: E(y)=R.
- Функция y=tg(α) - нечтная: tg(−α)=−tg α.
- Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует π: tg(α+π)=tg(α).
- График функции пересекает ось Ох при α=πn,n∈Z.
- Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn),n∈Z и y<0 при (−π/2+πn;πn),n∈Z.
- Функция является непрерывной, есть производная с любым значением аргумента из области определения: (tgx)′=1/cos2x.
- Функция y=tg α возрастает при α∈(−π/2+πn;π/2+πn),n∈Z.
Свойства котангенса.
- Область определения функции — множество действительных чисел: D(y)=R, исключая числа α=πn.
- Множество значений — множество действительных чисел: E(y)=R.
- Функция y=ctg(α) - нечетная: ctg(−α)=−ctg α.
- Функция периодическая, самый маленький неотрицательный период равен π: ctg(α+π)=ctg(α).
- График функции пересекает ось Ох при α=π/2+πn,n∈Z.
- Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn),n∈Z и y<0 при (π/2+πn;π(n+1)),n∈Z.
- Функция является непрерывной, есть производная в любом значении аргумента из области определения: (ctgx)′=−1/sin2x.
- Функция y=ctg α убывает при α∈(πn;π(n+1)),n∈Z.
Основные тригонометрические тождества.
Тригонометрические функции. Значение тригонометрических функций.
Тригонометрические функции. Выражение и преобразование тригонометрических функций формулы.
Тождество. Тождественные преобразования. Примеры.
Обратные тригонометрические функции.