Теорема синусов. Доказательство теоремы синусов.

          Теорема синусов — теорема, которая устанавливает зависимость: стороны треугольника - противолежащие им углы.

 

         Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

 

Есть 2 подвида теоремы: обычная и расширенная теорема синусов.

 

Обычная теорема синусов:

 

Стороны треугольника пропорциональны sin противоположных углов.

 

Теорема синусов. Доказательство теоремы синусов.

 

Расширенная теорема синусов для произвольного треугольника:

 

Теорема синусов. Доказательство теоремы синусов.

 

где a, b, c — стороны треугольника, , β, γ — противолежащие этим сторонам углы, а R — радиус окружности, которая описана вокруг треугольника.

 

Доказательство теоремы синусов.

Пусть есть треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC.

Что бы доказать всю теорему, так как треугольник имеет произвольные размеры, можно доказать только то, что соотношение 1-ной произвольной стороны к противолежащему углу соответствует 2R. Допустим, это будет 2R = a/sin , т.е. если смотреть по чертежу 2R = BC / sin A.

 

Теорема синусов. Доказательство теоремы синусов.

 

Проведем диаметр |BG| для описанной окружности. Из свойства углов, которые вписаны в окружность, угол GCB будет прямым, а угол CGB равен либо , когда точки A и G находятся по одну сторону от прямой BC, или − в противоположном варианте. Так как sin(−)=sin, в обоих случаях получаем:

 

a=2R sin

 

Повторяем это же рассуждение для оставшихся сторон треугольника:

 

Теорема синусов. Доказательство теоремы синусов.

 

Теорема синусов доказана.

 

Теорема косинусов.