Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, которая обобщающает теорему Пифагора.

 

Теорема косинусов:

 

Теорема косинусов. Доказательство теоремы косинусов.       Для плоского треугольника, у которого стороны a, b, c и угол α, который противолежит стороне a,         справедливо соотношение:

 

                a2 = b2 + c2 – 2bc cosα.

 

Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

 

Следствие из теоремы косинусов.

  • Теорема косинусов используется для определения cos угла треугольника:

 

Теорема косинусов. Доказательство теоремы косинусов.

Если конкретно:

  • Когда b2 + c2 - a2 > 0, угол α будет острым;
  • Когда b2 + c2 - a2 = 0, угол α будет прямым (когда угол α является прямым, значит, теорема косинусов переходит в теорему Пифагора);
  • Когда b2 + c2 - a2 < 0, угол α будет тупым.

 

Классическое доказательство теоремы косинусов.

Пусть есть треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Значит:

AD = b cos α,

DB = c – b cos α

 

Теорема косинусов. Доказательство теоремы косинусов.

 

Записываем теорему Пифагора для 2-х прямоугольных треугольников ADC и BDC:

 

h2 = b2 - (b cos α)2 (1)

h2 = a2 - (c – b cos α)2 (2)

 

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2):

 

b2 - (b cos α)2 = a2 - (c - b cos α)2

либо

a2 = b2 + c2 - 2bc cos α.

 

Если 1-н из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определить стороны b и c:

 

b2 = a2 + c2 - 2ac cos β

c2 = a2 + b2 - 2ab cos γ.

 

Теорема косинусов для остроугольного треугольника.

Если угол острый, то справедлива формула:

 

a2= b2+ c2−2bx

Теорема косинусов. Доказательство теоремы косинусов.

 

Теорема косинусов для прямоугольного треугольника.

Теорема косинусов. Доказательство теоремы косинусов.

 

Теорема косинусов для тупоугольного треугольника.

Теорема косинусов. Доказательство теоремы косинусов.

 

Если угол тупой, то справедлива формула:

 

a2= b2+ c2+ 2bx.