Теорема косинусов. Доказательство теоремы косинусов.

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, которая обобщающает теорему Пифагора.

Теорема косинусов:

       Для плоского треугольника, у которого стороны a, b, c и угол α, который противолежит стороне a,         справедливо соотношение:

                a² = b² + c² – 2bc cosα.

Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Следствие из теоремы косинусов.

• Теорема косинусов используется для определения cos угла треугольника:

Если конкретно:

• Когда b² + c² - a² > 0, угол α будет острым;
• Когда b² + c² - a² = 0, угол α будет прямым (когда угол α является прямым, значит, теорема косинусов переходит в теорему Пифагора);
• Когда b² + c² - a² < 0, угол α будет тупым.

Классическое доказательство теоремы косинусов.

Пусть есть треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Значит:

AD = b cos α,

DB = c – b cos α

Записываем теорему Пифагора для 2-х прямоугольных треугольников ADC и BDC:

h² = b² - (b cos α)² (1)

h² = a² - (c – b cos α)² (2)

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2):

b² - (b cos α)² = a² - (c - b cos α)²

либо

a² = b² + c² - 2bc cos α.

Если 1-н из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определить стороны b и c:

b² = a² + c² - 2ac cos β

c² = a² + b² - 2ab cos γ.

Теорема косинусов для остроугольного треугольника.

Если угол острый, то справедлива формула:

a²= b²+ c²−2bx

Теорема косинусов для прямоугольного треугольника.

Теорема косинусов для тупоугольного треугольника.

Если угол тупой, то справедлива формула:

a²= b²+ c²+ 2bx.