Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение

между сторонами прямоугольного треугольника.

Будет полезно сохранить таблицу Пифагора.

 

Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.

 

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора.

 

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

 

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов,

построенных на катетах.

 

Алгебраическая формулировка теоремы Пифагора.

 

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

 

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:

 

Теорема Пифагора.

 

Обе формулировки теоремы Пифагора эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не

требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и

измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

 

Обратная теорема Пифагора.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то

треугольник прямоугольный.

 

Или, иными словами:

Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что

 

Теорема Пифагора.,

 

существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

 

Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника.

Теорема Пифагора.

 

 

 

Теорема Пифагора для равностороннего треугольника.

Теорема Пифагора.

                                                

 

Доказательства теоремы Пифагора.

 

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема

Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие

можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

 

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них:

доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например,

с помощью дифференциальных уравнений).

 

     1. Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники.

 

Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся

напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.

 

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим

её основание через H.

Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC.

Введя обозначения:

 

Теорема Пифагора.                    Теорема Пифагора.     

получаем:

Теорема Пифагора. ,

 

 

 

что соответствует -                 Теорема Пифагора.

 

Сложив a2 и b2, получаем:             Теорема Пифагора.            

                           

или    Теорема Пифагора.,     что и требовалось доказать.

 

     2. Доказательство теоремы Пифагора методом площадей.

 

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они

используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

 

  • Доказательство через равнодополняемость.

 

Теорема Пифагора.Расположим четыре равных прямоугольных

треугольника так, как показано на рисунке

справа.

 

Четырёхугольник со сторонами c – квадратом,

так как сумма двух острых углов 90°, а

развёрнутый угол — 180°.

 

Площадь всей фигуры равна, с одной стороны,

площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и

площади внутреннего квадрата.

 

Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора. 

Что и требовалось доказать.

 

     3. Доказательство теоремы Пифагора методом бесконечно малых.

Теорема Пифагора.

Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и

наблюдая изменение стороны a, мы можем

записать следующее соотношение для бесконечно 

малых  приращений сторон с и a (используя подобие

треугольников):

 

Теорема Пифагора.

 

Используя метод разделения переменных, находим:

 

Теорема Пифагора.

 

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов:

 

Теорема Пифагора.

 

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем:

 

Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора.

 

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу:

Теорема Пифагора.

 

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной

пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми

вкладами от приращения разных катетов.

 

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения

(в данном случае катет b). Тогда для константы интегрирования получим:

 

Теорема Пифагора.