Теорема Безу. Схема Горнера.

Теорема Безу.

Теорема Безу, невзирая на кажущуюся простоту и очевидность, является одной из базовых теорем теории многочленов. В данной теореме алгебраические характеристики многочленов (они позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными характеристиками (которые позволяют рассматривать многочлены как функции).

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена  на многочлен  - это  .

Коэффициенты многочлена лежат в неком коммутативном кольце с единицей (к примеру, в поле вещественных либо комплексных чисел).

Теорема Безу - доказательство.

Делим с остатком многочлен P(x) на многочлен (x-a):

Исходя из того, что  deg R(x) < deg (x-a) = 1 -  многочлен степени не выше нуля. Подставляем , так как , получаем .

Но наиболее важна не именно теорема, а следствие теоремы Безу: 

     1. Число  - корень многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) делится без остатка на двучлен x-a.

Исходя из этого – множество корней многочлена P(x) тождественно множеству корней соответствующего уравнения x-a.

     2. Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (когда старший коэффициент равен единице – все рациональные корни целые).

     3. Предположим, что  - целый корень приведенного многочлена P(x) с целыми коэффициентами. Значит, для любого целого  число  делится на . 

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать дальше корни многочлена, степень которого уже на 1 меньше: если , то данный многочлен P(x) будет выглядеть так:

Т.о., один корень найден и дальше находят уже корни многочлена , степень которого на 1 меньше степени начального многочлена. Иногда таким методом - называется понижением степени - находят все корни данного многочлена.

Теорема Безу примеры:

Найти остаток от деления многочлена  на двучлен .

Теорема Безу примеры решения:

Исходя из теоремы Безу, искомый остаток соответствует значению многочлена в точке . Тогда найдем , для этого значение  подставляем в выражение для многочлена  вместо . Получаем:

Ответ: Остаток = 5.

Схема Горнера.

Схема Горнера – это алгоритм деления (деление схемой Горнера) многочленов, записываемый для частного случая, если частное равно двучлену .

Построим этот алгоритм:

Предположим, что  - делимое

  - частное (его степень, вероятно, будет на  удиницу меньше),  r  -  остаток (т.к. деление осуществляется на многочлен 1-ой степени, то степень остатка будет на единицу меньше, т.е. нулевая, таким образом, остаток это константа).

По определению деления с остатком  P(x) = Q(x) (x–a) + r.  После подстановки выражений многочленов получаем:

Раскрываем скобки и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях, после чего выражаем коэффициенты частного через коэффициенты делимого и делителя:

Удобно вычисления сводить в такую таблицу:

 В ней выделены те клетки, содержимое которых участвует в вычислениях на очередном шаге. 

Схема Горнера примеры:

Пусть надо поделить многочлен    на двучлен  x–2.  

Составляем таблицу с двумя строками. В 1 строку выписываем коэффициенты нашего многочлена. Во второй строке будем получать коэффициенты неполного частного по следующей схеме: в первую очередь переписываем старший коэффициент данного многочлена, далее, дабы получить очередной коэффициент, умножаем последний найденный на  а=2  и складываем с соответствующим коэффициентом многочлена  F(x).  Самый последний коэффициент будет остатком, а все предыдущие – коэффициентами неполного частного.