Тригонометрические формулы.

Тригонометрические формулы — это самые необходимые в тригонометрии формулы, необходимые для выражения тригонометрических функций, которые выполняются при любых значениях аргумента.

Формулы сложения.

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α

cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α · tg β)

tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Формулы двойного угла.

cos 2α = cos² α - sin² α

cos 2α = 2cos² α - 1

cos 2α = 1 - 2sin² α

sin 2α = 2sin α · cos α

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Формулы тройного угла.

sin 3α = 3sin α - 4sin³ α

cos 3α = 4cos³ α - 3cos α

tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)

ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Формулы половинного угла.

1. Синус половинного угла. Примечание: Знак перед корнем выбирается в зависимости от квадранта, в который попадает угол α/2 в левой части. Данное правило справедливо также для других формул, приведенных ниже. 

2. Косинус половинного угла:
   

3. Тангенс половинного угла:
   

4. Котангенс половинного угла:  
   

5. Выражение синуса через тангенс половинного угла:  
   

6. Выражение косинуса через тангенс половинного угла:  
   

7. Выражение тангенса через тангенс половинного угла:  
    

8. Выражение котангенса через тангенс половинного угла: 
   

Формулы приведения.

Подробное описание формул приведения.

Основные тригонометрические формулы.

Основное тригонометрическое тождество:

sin²α+cos²α=1 

Данное тождество − результат применения теоремы Пифагора к треугольнику в единичном тригонометрическом круге.

Соотношение между косинусом и тангенсом:

1/cos²α−tan²α=1 или sec²α−tan²α=1. 

Данная формула является следствием основного тригонометрического тождества и получается из него делением левой и правой части на cos2α. Предполагается, что α≠π/2+πn,n∈Z.

Соотношение между синусом и котангенсом:

1/sin²α−cot²α=1 или csc²α−cot²α=1. 

Эта формула также следует из основного тригонометрического тождества (получается из него делением левой и правой части на sin2α. Здесь предполагается, что α≠πn,n∈Z.

Определение тангенса:

tanα=sinα/cosα, 

где α≠π/2+πn,n∈Z.

Определение котангенса:

cotα=cosα/sinα, 

где α≠πn,n∈Z.

Следствие из определений тангенса и котангенса:

tanα⋅cotα=1, 

где α≠πn/2,n∈Z.

Определение секанса:

secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈Z

Определение косеканса:

cscα=1/sinα,α≠πn,n∈Z

Тригонометрические неравенства.

Простейшие тригонометрические неравенства:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx < a, sinx ≤ a, 

cosx > a, cosx ≥ a, cosx < a, cosx ≤ a, 

tanx > a, tanx ≥ a, tanx < a, tanx ≤ a, 

cotx > a, cotx ≥ a, cotx < a, cotx ≤ a. 

Квадраты тригонометрических функций.

Формулы кубов тригонометрических функций.