При построении графика какой-либо тригонометрической функции (например, синуса) переменного угла необходимо на оси абсцисс задаться отрезком, который отображает какой-либо определенный угол (к примеру угол равный 90°), и на оси ординат выбрать отрезок, изображающий какое-либо число (например - 1).

Когда точно известно, какой именно угол принимается за единицу измерения, можно говорить об одинаковости масштабов на обеих осях. Тогда число х, измеряющее угол, и число у, выражающее его синус, можно изобразить отрезками, пропорциональными этим числам.

Тригонометрические функции Понятие периодичности

 

При построении графиков тригонометрических функций обычно принято за единицу измерения угла использовать радиан. Тогда функция у = sin x (под х подразумевается наименование «радианов») изображается графиком, приведенным ниже (масштабы на осях одинаковы). Если за единицу измерения угла принять полрадиана, то, сохраняя те же масштабы, график растянется вдоль оси абсцисс в отношении 2:1.

Линия, являющаяся графиком функции у = sin x, называется синусоидой.

График функции у = cos x изображен ниже.

 

Тригонометрические функции Понятие периодичности

 

По своей сути этот график тригонометрической функции такая же синусоида, но она получается из графика у = sin х при смещении вдоль ОХ влево на отрезок - π/2.

При смещении графика синуса или косинуса на отрезок 2π (вправо или влево) он (график) совмещается сам с собой.

Таким образом, можно сказать, что если график некоторой функции у = f(x) при смещении его на некоторый отрезок вдоль оси абсцисс совмещается сам с собой, то функция называется периодической.

Периодом функции f(x) называется число р, которое измеряет отрезок на оси. Это словесное определение кратко выражается формулой:

 

f(x + р) = f(x).

 

Если р это период функции f(x), то 2р, Зр, -2р, -Зр – это тоже периоды функций.

Все тригонометрические функции имеют период 2π.

Функции тангенса и котангенса у = tgx и у = ctg х имеют сверх того период π (так как tg (х ± k π) = tg х).

 

График тангенса у = tg х показан на рисунке.

 

Тригонометрические функции Понятие периодичности

 

На рисунке ниже представлен график функции котангенс у = ctg х.

 

Тригонометрические функции Понятие периодичности

 

График тангенса неограниченно приближается к прямым, которые параллельны оси ординат и отстоят от нее на расстоянии равном ± π/2, ± 3(π/2), ± 5(π/2) и т.п., но не достигают этих прямых.

Аналогичную роль для графика функции котангенса играют прямые, отстоящие от оси OY на ± π, ±2π, ±3π, и т. д., собственно и сама ось OY.