Первое определение функции.

Функция – это математическая величина, показывающая зависимость одного элемента «у» от другого «х».

Иначе сказать: зависимость у называется функцией переменной величины х, если каждому значению, которое может принимать х соответствует одно или несколько определяемых значений у. Переменная х – это аргумент функции.

Величина у всегда зависит от величины х, следовательно, аргумент х является независимой переменной, а функция узависимой переменной.

Поясним на примере:

 

Пусть Т – это температура кипения воды, а Р – атмосферное давление. При наблюдении установлено, что каждому значению, которое может принимать Р, соответствует всегда одно и то же значение Т. Таким образом, Т – это функция аргумента Р.

Функциональная зависимость Т от Р позволяет при наблюдении температуры кипения воды без барометра определять давление по специальным таблицам, например таким:

 

Т, °С

70

75

80

85

90

95

100

Р, мм

234

289

355

434

526

643

760

 

 

Видно, что есть значения аргумента Т, которые температура кипения принимать не может, например, она не может быть меньше «абсолютного нуля» (- 273 °С). То есть, невозможному значению Т = - 300 °С, не соответствует никакое значение Р. Поэтому в определении сказано: «каждому значению, которое может принимать х…», а не каждому значению х…

При этом Р является функцией аргумента Т. Таким образом, зависимость Р от Т позволяет, при наблюдении за давлением без термометра определять температуру кипения воды по аналогичной таблице:

 

Р, мм

300

400

500

550

600

650

700

Т, °С

75,8

83,0

88,7

91,2

93,5

95,7

97,7

 

Второе определение функции.

Если каждому значению аргумента х отвечает одно значение функции у, то функция называется однозначной; если два и более, - то многозначной (двузначной, трехзначной). Если не оговаривается, что функция многозначна, следует понимать, что она однозначна.

 

Например:

Сумма (S) углов многоугольника – это функция числа (n) сторон. Аргумент n может принимать только целые значения, но не меньше, чем 3. Зависимость S от n выражается через формулу:

 

S = π (n - 2).

 

За единицу измерения в данном примере принят радиан. При этом n – это функция аргумента S и функциональная зависимость n от S выражается формулой:

 

n = S/π + 2.

 

Аргумент S может принимать только значения, которые кратны π, (π, 2π, 3π и т.д.).

 

Поясним на еще одном примере:

Сторона квадрата х является функцией его площади S (x = √S). Аргумент может принимать любые положительные значения.

 

Аргумент – это всегда переменная величина, функция, обычно, тоже переменная величина, зависящая от аргумента, но не исключена возможность ее постоянства.

 

Например:

Расстояние движущейся точки от неподвижной – это функция времени пребывания в пути, она обычно меняется, но при движении точки по окружности расстояние от центра остается постоянным.

При этом, продолжительность движения по окружности не является функцией расстояния от центра.

 

Таким образом, когда функция является постоянной величиной, то аргумент и функцию нельзя менять местами.