Функция. Степенная функция.

Степенной называется функция вида у = ахⁿ, где а, n - это постоянные величины.

Функции у = ах, у = ax², у = а/х - являются частными видами степенной функции при n = 1, n = 2, n = -1.

Так как нулевая степень всякого числа, не равного нулю, равна единице, то при n = 0 степенная функция становится постоянной величиной, т.е. у = а. Поясним подробнее: выражение ноль в нулевой степени неопределенно, в том случае, когда функция у = ax⁰ для всех значений х, естественно кроме нуля, равна а, и следовательно, если х = 0, то у = а. В таком случае график представлен прямой линией, параллельной оси абсцисс).

Остальные случаи делятся на группы:

1) n - положительное число;

2) n - отрицательное число.

Видны графики функции у = хⁿ при n = 0,1; 1/4; 1/3; 1/2; 2/3; 1;3/2; 2 ; 3; 4; 10. Все они проходят через начало координат и точку (1; 1).

При n = 1 получаем прямую являющуюся биссектрисой угла х0у.

При n > 1 график образуется сначала между х = 0 и х = 1, несколько ниже этой прямой, а затем при х > 1, выше ее.

При п < 1 наблюдаем обратную ситуацию.

Ограничимся случаем, когда а = 1, так как в других случаях графики отличаются только изменением масштаба. Значения х меньше нуля не берем, потому, что при х < 0 некоторые степенные функции с дробными показателями, например , теряют смысл. При целых показателях степенные функции имеют смысл и при х < 0, но графики по разному выглядят в зависимости от того, четное или нечетное n.

Например:

Графики функций у = х² и у = х³, при четном n график выглядит симметрично относительно оси ординат у, а при нечетном симметричен относительно начала координат.

По аналогии с графиком функции у = ах² графики всех степенных функций у = ахⁿ при положительном n называют параболами n-го порядка или n-й степени. Так, график функции у = ах³ называется параболой 3-го порядка или кубической параболой.

В случае если n дробное число p/q с четным знаменателем q и нечетным числителем р, то величина  может иметь два знака  , а у графика появляется еще одна часть внизу оси абсцисс х, причем она симметрична верхней части.

Видим график двузначной функции у = ±2х^1/2, т. е.  представленный параболой с горизонтальной осью.

Графики функций у = хⁿ при n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10. Эти графики проходят через точку (1; 1).

Когда n = -1 получаем гиперболу. При n < - 1 график степенной функции располагается сначала выше гиперболы, т.е. между х = 0 и х = 1, а потом ниже (при х > 1). Если n > -1 график проходит наоборот. Отрицательные значений х и дробные значения n аналогичны для положительных n.

Все графики неограниченно приближаются как к оси абсцисс х, так и к оси ординат у, не соприкасаясь с ними. Вследствие сходства с гиперболой эти графики называют гиперболами n -го порядка.