Тождества в основном применяются для решения линейных уравнений.

Тождеством называется равенство, которое верно при всех значениях переменных.

Или другими словами, тождество — это равенство, которое выполняется на всём множестве значений переменных, входящих в него, например:

 

a2−b2=(a+b)(a−b),

(a+b)2=a2+2ab+b2­.

 

В этих выражениях при всех значениях a и b равенство верное.

2 выражения с равными значениями при всех значениях переменных являются тождественно равными.

 

Равенство x+2=5 может существовать не при всех значениях x, а лишь при x=3. Это равенство не будет тождеством, это будет уравнением. Кроме того, тождеством будет равенство, которое не содержит переменные, например 252=625.

Тождественное равенство обозначают символом «≡» (тройное равенство).

 

Примеры тождеств.

- Тождество Эйлера (кватернионы);

- Тождество Эйлера (теория чисел);

- Тождество параллелограмма;

- Тождество четырёх квадратов;

- Тождество восьми квадратов;

- Тригонометрические тождества.

 

Тождественные преобразования.

Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) – это подмена одних выражений другими, тождественно равными друг другу.

 

Для тождественных преобразований используют формулы сокращенного умножения, законы арифметики и другие тождества.

 

Выполним тождественные преобразования с такой дробью: http://latex.codecogs.com/gif.latex?frac%7bx%5e3-x%7d%7bx%5e2-x%7d.

 

http://latex.codecogs.com/gif.latex?frac%7bx%5e3-x%7d%7bx%5e2-x%7d=frac%7bx(x%5e2-1%7d%7bx-1%7d=frac%7bx(x-1)(x+1)%7d%7bx(x-1)%7d=(x+1);

http://latex.codecogs.com/gif.latex?frac%7bx%5e3-x%7d%7bx%5e2-x%7d=(x+1);

 

Полученное тождество, при х ≠ 0 и х ≠ 1 (недопустимые значения), т.к. знаменатель левой части не может быть равен нулю.

 

x2−x≠0;

x(x−1)≠0;

х≠0;

х≠1.

 

Доказательство тождеств.

Для того, чтоб доказать тождество нужно сделать тождественные преобразования обеих или одной части равенства, и получить слева и справа одинаковые алгебраические выражения.

 

 Например, доказать тождество:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?frac%7bx%5e3-x%7d%7bx%5e2-x%7d=frac%7bx%5e2+x%7d%7bx%7d;

Вынесем х за скобки:

Тождество. Тождественные преобразования. Примеры.

Сократим на х:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?frac%7bx%5e2-1%7d%7bx-1%7d=x+1;

Разность квадратов:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?frac%7b(x-1)(x+1)%7d%7bx-1%7d=x+1;

Сократим на х-1:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x+1=x+1;

Это равенство есть тождество, при х≠0 и х≠1.

 

Чтоб доказать, что равенство не является тождеством, нужно найти 1-но значение переменной (которое допустимо) у которой числовые выражения (которые были получены) станут не равными друг другу.

 

 Например:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?frac%7bx%5e2-x%7d%7bx%7d=frac%7bx%5e2+x%7d%7bx%7d%20 ightarrow%20x eq%200 

 

x−1 = x+1 — сократим на х для удобства;

5−1 ≠ 5+1 — подставим, к примеру, 5.

 

Это равенство не тождество.

 

Разница между тождеством и уравнением.

Тождество верно при всех значениях переменных, а уравнение – это равенство, которое верно только при одном либо нескольких значениях переменной.

Например:

х + 20 = 30;

 

Это выражение верно лишь при х = 10.

 

Тождеством будет равенство, которое не содержит переменных.

Пример:

33 = 27.