Числа. Геометрическое представление комплексных чисел.

Комплексным числом z является пара действительных чисел x и y, упорядоченная.

Первое число x из этой пары является действительной частью комплексного числа z и обозначают его как Rez, x = Rez. Второе число y является мнимой частью комплексного числа z и обозначают его как Imz, y = Imz.

Действительные числа изображают точками на числовой прямой: 

Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого, комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a + bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b. Эта система координат называется комплексной плоскостью.

Модуль комплексного числа - длина вектора OP, который изображает комплексное число на координатной (комплексной) плоскости.

Модуль комплексного числа a + bi обозначают |a+ bi| либо буквой r и он равняется:

У сопряженных комплексных чисел равные модули.

Аргумент комплексного числа - это угол φ меж осью OX и вектором OP, который изображает это комплексное число. Тогда, tan φ = b/a. 

Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу a и ординату b комплексного числа a + bi выражают через модуль этого числа r и аргумент φ:

Операции с комплексными числами, которые представлены в тригонометрической форме.

Это знаменитая формула Муавра.

где k - целое. 

Чтобы получить n разных значений корня n-ой степени из z нужно задать n последовательных значений для k (к примеру, k = 0, 1, 2,…, n – 1).