Общеизвестный факт что сумму нескольких равных слагаемых можно найти с помощью умножения. Например : 5+5+5+5+5+5=5х6.  О таком выражении говорят, что сумму равных слагаемых свернули в произведение. И наоборот, если читать это равенство справа налево, получаем, что мы развернули сумму равных слагаемых. Аналогично можно сворачивать произведение нескольких равных множителей 5х5х5х5х5х5=56.

 То есть вместо умножения шести одинаковых множителей 5х5х5х5х5х5 пишут 56 и говорят «пять в шестой степени».

Выражение 56- это степенью числа, где:

5 - основание степени;

6 - показатель степени.

Действия, с помощью которых произведение равных множителей сворачивают в степень, называют возведением в степень.

В общем виде степень с основанием "a" и показателем "n" записывается так

 

Степень числа

 

Возвести число a в степень n – значит найти произведение n множителей, каждый из которых равен а

Если основание степени «а» равно 1, то значение степени при любом натуральном n будет равно 1. Например, 15 =1, 1256=1

Если возвести число «а» возвести в первую степень, то получим само число a: a1 = a

Если возвести любое число в нулевой степень, то в результате вычислений получим один . a0 = 1

Особыми считают вторую и третью степень числа. Для них придумали названия: вторую степень называют квадратом числа, третью – кубом этого числа.

В степень можно возводить любое число - положительное, отрицательное или нуль. При  этом не пользуются следующими правилами:

-при нахождении степени положительного числа получается положительное число.

-при вычислениях нуля в натуральной степени получаем ноль.

- при вычислении степени отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Если решить несколько примеров на вычисление  степени отрицательных чисел, то получится, что если мы вычисляем нечётную степень отрицательного числа, то в результате будет число со знаком минус. Так как при умножении нечётного количество отрицательных сомножителей  получаем отрицательное значение.

Если же мы рассчитываем четную степень для отрицательного числа, то в результате будет положительное число. Так как при умножении чётного количества отрицательных сомножителей получаем положительное значение.

 

Свойства степени с натуральным показателем.

Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями мы основания не меняем, а показатели степеней складываем:

 

хm · хn = хm + n

например:  71.7 · 7 - 0.9 = 71.7+( - 0.9) = 71.7 - 0.9 =  70.8

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями основание не меняем, а показатели степеней вычитаем:

 

хm / хn = хm — n , где,  m > n,

например: 133.8 / 13 -0.2 = 13(3.8 -0.2) = 133.6

При расчетах возведения степени в степень основание не меняем, а показатели степеней умножаем друг на друга.

 

m )n = у m ·  n

например: (23)2 = 2 3·2 = 26

Если необходимо рассчитать возведение в степень произведения, то в эту степень возводится каждый множитель

 

(х · у)n = хn · у m ,

например:(2·3)3 = 2n · 3 m ,

При выполнении расчетов по возведению в степень дроби мы в данную степень возводим числитель и знаменатель дроби

 

(х / у)n = хn / уn

например: (2 / 5)3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 23 / 53.

 

Последовательность выполнения расчетов при работе с выражениями содержащими степень.

При выполнении расчетов выражений без скобок, но содержащих степени, в первую очередь производят возведение в степень, потом действия умножение и деление, и лишь потом операции сложения и вычитания.

Если необходимо вычислить выражение содержащие скобки, то сначала в указанном выше порядке делаем вычисления в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Очень широко в практических вычислениях для упрощения расчетов используют готовые таблицы степеней.