Числа. Возведение комплексных чисел в степень.

Комплексным числом z является пара действительных чисел x и y, упорядоченная.

Рассмотрим на примере:

Возведем в квадрат комплексное число: .

Этот пример можно решить 2-мя способами, 1-й способ: перепишем степень как произведение множителей:  и перемножим числа по правилу умножения многочленов.

2-й способ: применение формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа очень просто вывести формулу сокращенного умножения:

.

Такую же формулу просто вывести для квадрата разности и для куба суммы и куба разности.

Если комплексное число необходимо возвести в пятую, десятую либо сотую степень, то здесь нужно воспользоваться тригонометрической формой комплексного числа и формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень n верна формула:

Пример:

Есть комплексное число , найдем z²⁰.

Для начала необходимо представить это число в тригонометрической форме:

Тогда, по формуле Муавра:

Не нужно считать на калькуляторе , а угол в основном числе случае лучше упростить, т.е. необходимо избавиться от лишних оборотов. Один оборот равен  радиан либо 360 градусов.

Вычислим сколько оборотов в аргументе . Что бы было удобнее, сделаем дробь правильной: 

,

Теперь видим, что можно избавиться от одного оборота: . Видим, что  и  – это один и тот же угол.

Т.о., итоговый результат записываем так:

Для более стандартного вида, запись можно представить так:

(то есть избавиться от еще одного оборота и получить значение аргумента в стандартном виде).

Еще можно представить в таком виде:

Пример:

Возведем в степень комплексные числа i¹⁰, i³³, -i²¹.

Если мнимую единицу возводить в четную степень, то методика решения такая:

Если мнимую единицу возводить в нечетную степень, то убираем одно i  и получаем четную степень:

Если есть минус (либо всякий действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить: