Модуль комплексного числа.

Число r — длина радиус-вектора точки M (x, y)является модулем комплексного числа z = x + iy. Обозначается как Числа Модуль и аргумент комплексного числа.

 

Числа Модуль и аргумент комплексного числа

 

Из рисунка получаем формулу для определения модуля числа, которое задано в алгебраической форме z = x + iy:

 

Числа Модуль и аргумент комплексного числа

 

Видно, что Числа Модуль и аргумент комплексного числа и Числа Модуль и аргумент комплексного числа лишь для числа Числа Модуль и аргумент комплексного числа.

При помощи правила вычитания записываем модуль числа z = z1z2, где z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2:

 

Числа Модуль и аргумент комплексного числа

 

А это является формулой для расстояния между точками Числа Модуль и аргумент комплексного числа и Числа Модуль и аргумент комплексного числа.

Т.о., число Числа Модуль и аргумент комплексного числа - это расстояние между точками z1 и z2 на комплексной плоскости.

 

Пример. Найдем модули комплексных чисел:

 

Числа Модуль и аргумент комплексного числа

 

Рассчитаем решение для всех 3-х случаев:

1) z1 и z2 являются числами действительными, при этом Числа Модуль и аргумент комплексного числа. Значит, Числа Модуль и аргумент комплексного числа;

2) числа Числа Модуль и аргумент комплексного числа и Числа Модуль и аргумент комплексного числа являются чисто мнимыми, при этом Числа Модуль и аргумент комплексного числа. Значит, Числа Модуль и аргумент комплексного числа, т.е. Числа Модуль и аргумент комплексного числа, либо Числа Модуль и аргумент комплексного числа;

3) для числа Числа Модуль и аргумент комплексного числа имеем Числа Модуль и аргумент комплексного числа. Поэтому Числа Модуль и аргумент комплексного числа.

 

Аргумент комплексного числа.

Полярный угол φ точки M (x, y) является аргументом комплексного числа z = x + iy. Обозначается как Числа Модуль и аргумент комплексного числа.

 

Описание: C:UsersiriffochkaDesktopimage (3).png

 

Формулу для определения аргумента комплексного числа z = x + iy, который задан в алгебраической форме, получаем, пользуясь связью декартовых и полярных координат точки M (x, y).

 

Описание: C:UsersiriffochkaDesktopimage.png

Для точек, которые не лежат на мнимой оси, то есть для z, у которых Числа Модуль и аргумент комплексного числа, получаем Числа Модуль и аргумент комплексного числа; для точек мнимой положительной полуоси, то есть для z, у которых Числа Модуль и аргумент комплексного числа, получаем Числа Модуль и аргумент комплексного числа; для точек мнимой отрицательной полуоси, то есть для z, у которых Числа Модуль и аргумент комплексного числа, получаем Числа Модуль и аргумент комплексного числа.

 

Аргумент числа Числа Модуль и аргумент комплексного числа является величиной неопределенной.

Определение аргумента при Числа Модуль и аргумент комплексного числа сводится к решению тригонометрического уравнения Числа Модуль и аргумент комплексного числа. При Числа Модуль и аргумент комплексного числа, то есть когда Числа Модуль и аргумент комплексного числа является числом действительным, у нас есть Числа Модуль и аргумент комплексного числа при Числа Модуль и аргумент комплексного числа и Числа Модуль и аргумент комплексного числа при Числа Модуль и аргумент комплексного числа.

 

При Числа Модуль и аргумент комплексного числа решение уравнения зависимо от четверти плоскости Числа Модуль и аргумент комплексного числа. Четверть, в которое расположена точка z, определяют по знакам Числа Модуль и аргумент комплексного числа и Числа Модуль и аргумент комплексного числа. В итоге имеем:

 

Описание: C:UsersiriffochkaDesktopmathtex.gif

 

При решении примеров удобно пользоваться схемой:

 

Описание: C:UsersiriffochkaDesktopimage (2).png

 

Пример. Найти аргументы чисел:

 

Числа Модуль и аргумент комплексного числа.

 

Решим задачу для каждого из 3-х случаев:

1) числа Числа Модуль и аргумент комплексного числа и Числа Модуль и аргумент комплексного числа — действительные, причем Числа Модуль и аргумент комплексного числа, поэтому Числа Модуль и аргумент комплексного числа;

2) числа Числа Модуль и аргумент комплексного числа и Числа Модуль и аргумент комплексного числа — чисто мнимые Числа Модуль и аргумент комплексного числа, причем Числа Модуль и аргумент комплексного числа Числа Модуль и аргумент комплексного числа, поэтому Числа Модуль и аргумент комплексного числа ;

 

Описание: C:UsersiriffochkaDesktopimage (1).png

3) для числа Описание: z_5=-1+2i имеем Числа Модуль и аргумент комплексного числа, поэтому из Числа Модуль и аргумент комплексного числа находим Числа Модуль и аргумент комплексного числа; так как при этом Числа Модуль и аргумент комплексного числа(точка Числа Модуль и аргумент комплексного числа находится во второй четверти, то получаем Числа Модуль и аргумент комплексного числа или Числа Модуль и аргумент комплексного числа.

 

Пример. Найти модуль и аргумент числа Числа Модуль и аргумент комплексного числа.

Находим Числа Модуль и аргумент комплексного числа. Т.к. Числа Модуль и аргумент комплексного числа, то есть точка расположена в 4 четверти, то из равенства Числа Модуль и аргумент комплексного числа получаем Числа Модуль и аргумент комплексного числа