Модуль комплексного числа.
Число r — длина радиус-вектора точки M (x, y)является модулем комплексного числа z = x + iy. Обозначается как .
Из рисунка получаем формулу для определения модуля числа, которое задано в алгебраической форме z = x + iy:
Видно, что и лишь для числа .
При помощи правила вычитания записываем модуль числа z = z1 – z2, где z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2:
А это является формулой для расстояния между точками и .
Т.о., число - это расстояние между точками z1 и z2 на комплексной плоскости.
Пример. Найдем модули комплексных чисел:
Рассчитаем решение для всех 3-х случаев:
1) z1 и z2 являются числами действительными, при этом . Значит, ;
2) числа и являются чисто мнимыми, при этом . Значит, , т.е. , либо ;
3) для числа имеем . Поэтому .
Аргумент комплексного числа.
Полярный угол φ точки M (x, y) является аргументом комплексного числа z = x + iy. Обозначается как .
Формулу для определения аргумента комплексного числа z = x + iy, который задан в алгебраической форме, получаем, пользуясь связью декартовых и полярных координат точки M (x, y).
Для точек, которые не лежат на мнимой оси, то есть для z, у которых , получаем ; для точек мнимой положительной полуоси, то есть для z, у которых , получаем ; для точек мнимой отрицательной полуоси, то есть для z, у которых , получаем .
Аргумент числа является величиной неопределенной.
Определение аргумента при сводится к решению тригонометрического уравнения . При , то есть когда является числом действительным, у нас есть при и при .
При решение уравнения зависимо от четверти плоскости . Четверть, в которое расположена точка z, определяют по знакам и . В итоге имеем:
При решении примеров удобно пользоваться схемой:
Пример. Найти аргументы чисел:
.
Решим задачу для каждого из 3-х случаев:
1) числа и — действительные, причем , поэтому ;
2) числа и — чисто мнимые , причем , поэтому ;
3) для числа имеем , поэтому из находим ; так как при этом (точка находится во второй четверти, то получаем или .
Пример. Найти модуль и аргумент числа .
Находим . Т.к. , то есть точка расположена в 4 четверти, то из равенства получаем .