Неравенства. Решение иррациональных неравенств.

Решение иррациональных неравенств сводится к освобождению от корней, чаще всего способом возведения обеих частей неравенства в степень.

А исходя из того, что множество решений, в преобладающем числе случаев, являются бесконечным множеством, весьма проблематично выполнить проверку полученных ответов подстановкой. Единственный метод, который делает возможным получить верный ответ, заключается в проведении только равносильных преобразований неравенств. В связи с этим, рассмотрим наиболее часто применяемые методы при поиске ответов иррациональных неравенств (во всех неравенствах n - натуральное число).

A1. Неравенство:

ОДЗ указанного неравенства f (x) ≥ 0.

Пусть для произвольных x из ОДЗ g (x) <0. Из этого делаем вывод, что все эти x − решения, поскольку при этих x левая часть определена (x ε ОДЗ) и положительна, в то время как правая часть g (x) < 0.

Для прочих x из ОДЗ g (x) ≥ 0. Для них обе части неравенства положительные, и его допускается возвести в квадрат: f(x) > g².Из чего делаем вывод, указанное неравенство тождественно совокупности систем:

Важно. Из выражения A1 получаем, что неравенство .

При b ≥ 0 тождественно неравенству f(x) > [b]²ⁿ, а при b < 0, тождественно неравенству f(x) ≥ 0.

A2. Неравенство:

Когда x принадлежит ОДЗ: f (x) ≥ 0, то левая часть неравенства существует и положительная. Потому как для всех x, выступающих решением указанного неравенства, правая часть больше левой, значит g (x) > 0. Делаем вывод, что обе части неравенства положительны (для тех x, которые выступают решениями неравенства, другие x нам не интересны). Из чего заключаем, что возведение в квадрат не разрушает равносильности и не будет ошибочным представить указанное неравенство как систему неравенств:

Важно. Из выражения A2 получаем, что когда правая часть неравенства есть число b (g(x) = b), то  0≤ f (x)<[b]²ⁿ, если b>0. Когда b ≤0, неравенство  решения не существуют.

A3. Неравенство

.

тождественно системе неравенств

A4. Неравенство:

тождественно системе неравенств

A5. Неравенство:

тождественно такой совокупности систем

A6. Неравенство:

равноценно совокупности

Где под D(g) указана область определения функции g.

A7. Неравенство:

равноценно совокупности

A8. Неравенства:

равноценны.

A9. Неравенства:

равноценны.