ЛНДУ (Линейное неоднородное дифференциальное уравнение) второго порядка с постоянными коэффициентами выглядит так:
где p и q – являются произвольными действительных чисел, а функция f(x) – непрерывна на интервале интегрирования X.
Выразим теорему, отображающая вид, в котором необходимо находить общее решение линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
Теорема.
Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения:
с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами 
и непрерывной функцией f(x) равно сумме общего решения y0 соответствующего линейного неоднородного дифференциального уравнения и любого частного решения 
исходного неоднородного уравнения, т.е., 
.
Значит, общим решением ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами оказывается сумма общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и частного решения исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения: .
Вычисление y0 расписано в статье линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, сейчас рассмотрим метод нахождения .
Есть некоторые методы определения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Эти методы определяются учитывая вид функции f(x), которая находится в правой части уравнения. Назовем их и в последующих статьях рассмотрим решения каждого ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:
1. Если f(x) оказывается многочленом n-ой степени f(x) = Pn(x), то частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения находится как 
,
где Qn(x) – многочлен степени n,
r – число корней характеристического уравнения, которые равны нулю.
Т.к. - является частным решением уравнения 
, тогда коэффициенты, которые определяют многочлен Qn(x), можно определить способом неопределенных коэффициентов из равенства 
.
Подробнее об этом методе решения ЛНДУ: Методы решения ЛНДУ 2-го порядка - многочлен n-ой степени.
2. Если функция f(x) представляется произведением многочлена степени n и экспоненты 
, значит, частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка находится как 
,
где Qn(x) является многочленом n-ой степени,
r – количество корней характеристического уравнения, которые равняются 
.
Коэффициенты многочлена Qn(x) можно определить из равенства .
Подробнее об этом методе решения ЛНДУ: Методы решения ЛНДУ 2-го порядка - многочлен степени n и экспонента.
3. Если функция f(x) выглядит так: 
, где А1 и В1 оказываются числами, значит, частное решение линейного неопределенного дифференциального уравнения представляют как 
,
где А и В являются неопределенными коэффициентами,
r - является числом комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, которые равны 
. Коэффициенты многочлена А и В определяются исходя из равенства .
Подробнее об этом методе решения ЛНДУ: Методы решения ЛНДУ 2-го порядка - А и В числа.
4. Если 
, значит, 
,
где r является числом комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, которые равны 
,
Pn(x),Qk(x), Lm(x) и Nm(x) являются многочленами степени n, k, m и m соответственно, m = max(n, k).
Найти коэффициенты многочленов Lm(x) и Nm(x) можно используя равенство .
Подробнее об этом методе решения ЛНДУ: Методы решения ЛНДУ 2-го порядка - многочлены степени n, k, m.
5. Для всех остальных видов функции f(x) используется такой порядок действий:
- первым шагом определяем общее решение необходимого линейного однородного уравнения как y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2, где y1 и y2 являются линейно независимыми частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения, а С1 и С2 являются произвольными постоянными;
- далее варьируем произвольные постоянные, т.е., как общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения принимаем y = C1(x) ⋅ y1 + C2(x) ⋅ y2;
- и последним шагом необходимо определить производные функций C1(x) и С2(x) из системы уравнений:
,
а функции C1(x) и C2(x) определяют при дальнейшем интегрировании.
Подробнее об этом методе решения ЛНДУ: Методы решения ЛНДУ 2-го порядка - общее.
Разбор ЕГЭ 2013 по математике. Задание С1
