Дифференциальные уравнения второго порядка.

Дифференциальное уравнение 2-го порядка записывают как:

.

В ДУ 2-го порядка всегда входит 2-я производная  и не входят производные более высоких порядков:

Обратите внимание, что некоторые  (или все сразу) могут отсутствовать в уравнении, но обязательно должен быть .

Самое примитивное дифференциальное уравнение второго порядка имеет такой вид:

.

Для этих уравнений есть теорема существования и единственности решения:

Теорема. Если в уравнении  функция  и ее частные производные по аргументам y и  непрерывны в некоторой области, которая содержит , то есть единственное решение  уравнения, которое удовлетворяет условиям  и .

Эти условия являются начальными условиями. Геометрический смысл этих условий состоит в том, что через заданную точку плоскости  с заданным tg угла наклона касательной  проходит единственная интегральная кривая.

Видно, что если задавать различные значения , то при постоянных  и  будет получено бесконечное число интегральных кривых с разными углами наклона касательных и проходящих через заданную точку.

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка является функция , которая зависит от 2-х произвольных постоянных, которая при любых значениях С₁ и С₂ будет решением ДУ.

Уравнение , которое определяет общее решение, является общим интегралом дифференциального уравнения.

Подставив конкретные значения С₁ и С₂ в общее решение, получим частное решение дифференциального уравнения. График частного решения является интегральной кривой данного дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения второго порядка делятся на:

• Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
• Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
• Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка.