Дифференциальное уравнение – это соотношение, имеющее  вид F(x1,x2,x3,..,y,y′,y′′,...y(n)) = 0,  и которое связывает независимые переменные x1,x2,x3,... функцию y этих независимых переменных и ее производные до n-го порядка. Причем функция F определяется и достаточное число раз дифференцируется в некоторой области изменения своих аргументов.

 

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это дифференциальные уравнения, содержащие лишь одну независимую переменную.

Дифференциальные уравнения в частных производных – это дифференциальные уравнения, в которых содержится 2 и более независимых переменных.

 

Дифференциальное уравнение 1-го порядка в общем случае содержит:

1) независимую переменную х;

2) зависимую переменную y (функцию);

3) первую производную функции: y.

 

В некоторых уравнениях первого порядка может отсутствовать х или (и) y, но это не существенно – важно чтобы в дифференциальных уравнениях была 1-я производная y, и не было производных высших порядков – y’’y’’’ и так далее.

 

Дифференциальное уравнение — уравнение, которое связывает значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть разным (формально он не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях либо все, кроме хотя бы 1-й производной, отсутствовать совсем. Не каждое уравнение, которое содержит производные неизвестной функции, оказывается дифференциальным уравнением. НапримерДифференциальные уравнения не есть дифференциальным уравнением.

Дифференциальное уравнение порядка выше 1-го можно преобразовать в систему уравнений 1-го порядка, в которой количество уравнений равняется порядку начального уравнения.

 

Классификация дифференциальных уравнений.

Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной, которая входит в него.

Степень дифференциального уравнения – это показатель степени, в которую возведена производная самого высокого порядка.

Например, уравнение 1-го порядка 2-й степени:


Дифференциальные уравнения


Например, уравнение 4-го порядка 1-й степени:


Дифференциальные уравнения

 

Бывает дифференциальные уравнения записывают как (в него входят дифференциалы):


(x2 - 3xy2)dx + (xy2 - 3x2y)dy = 0;
 

В таком случае переменные x и y нужно полагать равноправными. Если нужно, подобное уравнение приводят к виду, в котором явно содержится производная y'. Разделим на dx:


Дифференциальные уравнения


так как Дифференциальные уравнения и Дифференциальные уравнения, значит, уравнение принимает вид, который содержит производную 1-го порядка:


Дифференциальные уравнения

 

Виды дифференциальных уравнений.

1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.

 

2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка.

 

3. Дифференциальные уравнения высших порядков.

 

4. Системы дифференциальных уравнений вида Дифференциальные уравнения.