Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами вида:

Одним из самых распространенных видов дифференциальных уравнений (ДУ) называют Линейные однородные дифферениальные уравнения (ЛОДУ) с постоянными коэффициентами.

Для их решения не требуется особых усилий, они являютя достаточно легкими. Рассмотрим метод решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. 

Первым шагом необходимо найти корни характеристического уравнения . Когда p и q не равны друг другу, могут возникнуть 3 варианта: корни характеристического уравнения могут оказаться действительными и различающимися , действительными и совпадающими  либо сопряженными комплексно .

Учитывая значения корней характеристического уравнения, записываем общее решение нашего дифференциального уравнения в виде:

, либо

, либо

 соответственно.

Как пример разберем решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами :

У этого характеристического уравнения  корнями оказываются k₁ = -3 и k₂ = 0. Данные корни являются действительными и различными, а, значит, общее решение линейного однородного дифферциального уравнения с постоянными коэффициентами пример вид:

Более подробно о теории и различные примеры с решением и задачи можете найти тут: линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, примеры решения.