Линейные однородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами - примеры

Сейчас рассмотрим основные правила при решении линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами вида:

,

где p и q – являются произвольными действительными числами.

Теорема:

Общее решение ЛОДУ  с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами  определяется при помощи линейной комбинации , где  - линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения на X, а  - произвольные постоянные.

То есть, общее решение ЛОДУ 2-го порядка  с постоянными коэффициентами принимает вид y₀=C₁⋅y₁+C₂⋅y₂, где y₁ и y₂ являются частными линейно независимыми решениями, а С₁ и C₂ являются произвольными постоянными уравнения. Теперь нам необходимо понять как определять частные решения y₁ и y₂.

Эйлер выдвинул идею - находить частные решения в виде .

Примем  частным решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , тогда подставляя это решение в наше уравнение, получаем тождество:

Таким образом у нас теперь есть т.н. характеристическое уравнение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. При помощи решений k₁и k₂ данного характеристического уравнения вычисляем частные решения  и  нашего линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Учитывая коэффициенты p и q корни характеристического уравнения могут быть такими:

1. Действительными и различными ,