Как мы писали в предыдущей статье, корни характеристического уравнения могут быть:

1. Действительными и различными корни характеристического уравнения Действительными и различными,

2. Действительными и совпадающими корни характеристического уравнения Действительными и совпадающими,

3. Комплексно сопряженной парой корни характеристического уравнения комплексно сопряженной парой.

 

В первом случае линейно независимыми частными решениями заданного дифференциального уравнения оказываются линейно независимыми частными решениями заданного дифференциального уравнения и линейно независимыми частными решениями заданного дифференциального уравнения, а общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами оказывается:

общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Функции линейно независимыми частными решениями заданного дифференциального уравнения и линейно независимыми частными решениями заданного дифференциального уравнения в самом деле являются линейно независимыми, потому что определитель Вронского 

определитель Вронского 

не равен нулю для всяких действительных x при

корни характеристического уравнения Действительными и различными.

Во втором случае первым частным решением уравнения есть функция линейно независимыми частными решениями заданного дифференциального уравнения. Вторым частным решением берут линейно независимыми частными решениями заданного дифференциального уравнения.

Докажем, что линейно независимыми частными решениями заданного дифференциального уравнения в самом деле можно считать частным решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами решении линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и произведем доказательство линейной независимости y1 и y2.

Исходя из того, что k1 = k0 и k2 = k0 являются совпадающими корнями характеристического уравнения, значит, уравнение принимает вид:

частным решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Следовательно, исходное ЛОДУ - исходное ЛОДУ.

Подставив в это уравнение линейно независимыми частными решениями заданного дифференциального уравнения увидим, что уравнение становится тождеством:


уравнение становится тождеством

Т.о., линейно независимыми частными решениями заданного дифференциального уравнения можно легко назвать частным решением исходного уравнения.

 

Докажем то, что функции формула и линейно независимыми частными решениями заданного дифференциального уравнения являются линейно независимыми. Для этого нам необходимо просчитать определитель Вронского и определить, что он не равен нулю:


определитель Вронского не равен нулю

Вывод : линейно независимыми частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами    можно назвать   и  , и общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  является:

общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при корни характеристического уравнения Действительными и совпадающими.

В третьем случае есть два комплексных частных решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами два комплексных частных решений линейного однородного дифференциального уравнеия второго порядка с постоянными коэффициентами и два комплексных частных решений линейного однородного дифференциального уравнеия второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение записываем так:

 Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Такие частные решения можно заменить 2-мя действительными функциями частные решения можно заменить 2-мя действительными функциями  и частные решения можно заменить 2-мя действительными функциями , которые соответствуют действительной и мнимой частям. Преобразовав общее решение уравнения это можно легко заметить:

 частные решения можно заменить 2-мя действительными функциями ,

используя формулы из теории функции комплексного переменного вида:

формулы из теории функции комплексного переменного вида:


формулы из теории функции комплексного переменного вида 
где С3 и С4 являются произвольными постоянными.

 

И в подведение итога, обобщим теорию:

Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами решении линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.