Правила интегрирования функций.

 

Описание: int cf(x),dx = cint f(x),dx

Описание: int [f(x) + g(x)],dx = int f(x),dx + int g(x),dx

Описание: int [f(x) - g(x)],dx = int f(x),dx - int g(x),dx

Описание: int f(x)g(x),dx = f(x)int g(x),dx - int left(d[f(x)]int g(x),dx ight),dx

Описание: int f(ax+b),dx = {1 over a} F(ax+b),+C

 

Интегралы элементарных функций.

 

Рациональные функции.

Первообразная от нуля есть константа, в любых пределах интегрирования интеграл от нуля равен нулю:

 

Описание: ~int!0, dx = C

Описание: ~int!a,dx = ax +C

Описание: ~int!x^n,dx = egin{cases} frac{x^{n+1}}{n+1} + C, & n e -1 ln left|x ight| + C, & n=-1end{cases}

Описание: int!{dx over {a^2+x^2}} = {1 over a},operatorname{arctg},frac{x}{a} + C = - {1 over a},operatorname{arcctg},frac{x}{a} + C

 

Доказательство. Продифференцируем правую часть:

 

Описание: {d over dx}, left ({1 over a},operatorname{arctg},frac {x} {a} + C ight )= {d over dx}, left ({1 over a},operatorname{arctg},frac {x} {a} ight )= frac {1} {a} cdot {d over d left ({x over a} ight ) }left ( operatorname{arctg} frac {x} {a} ight )cdot {d over dx} left ({x over a} ight ) = frac {1} {a} cdot frac {1} {1+frac {x^2} {a^2} } cdot frac {1} {a} = frac {1} {a^2 cdot frac {a^2+x^2} {a^2}} = frac {1} {a^2+x^2} 

 

"Высокий логарифм":

Описание: int!{dx over {x^2-a^2}} = {1 over 2a}ln left|{x-a over {x+a}} ight| + C

 

Логарифмы:

Описание: int!ln {x},dx = x ln {x} - x + C

Описание: int frac{dx}{xln x} = ln|ln x|+ C

Описание: int!log_b {x},dx = xlog_b {x} - xlog_b {e} + C = xfrac{ln {x} - 1}{ln b} + C

 

Экспоненциальные функции:

Описание: int!e^x,dx = e^x + C

Описание: int!a^x,dx = frac{a^x}{ln{a}} + C

 

Иррациональные функции:

Описание: int!{dx over sqrt{a^2-x^2}} = arcsin {x over a} + C

Описание: int!{-dx over sqrt{a^2-x^2}} = arccos {x over a} + C

Описание: int!{dx over xsqrt{x^2-a^2}} = {1 over a},operatorname{arcsec},{|x| over a} + C

«Длинный логарифм»:

Описание: int!{dx over sqrt{x^2pm a^2}} = ln left|{x + sqrt {x^2pm a^2}} ight| + C

Тригонометрические функции:

Описание: int!sin{x}, dx = -cos{x} + C

Описание: int!cos{x}, dx = sin{x} + C

Описание: int!operatorname{tg}, {x} , dx = -ln{left| cos {x} ight|} + C

Доказательство:

Описание: int !operatorname{tg}, {x} , dx = int frac {sin x} {cos x} dx= - int frac {d (cos x) } {cos x} = - ln | cos x | + C

 

Описание: int!operatorname{ctg}, {x} , dx = ln{left| sin{x} ight|} + C

Доказательство:

Описание: int !operatorname{ctg}, {x} , dx = int frac {cos x} {sin x} dx= int frac {d (sin x) } {sin x} = ln | sin x | + C

 

Описание: int!sec{x} , dx = ln{left| sec{x} + operatorname{tg},{x} ight|} + C

Описание: int!csc{x} , dx = -ln{left| csc{x} + operatorname{ctg},{x} ight|} + C

Описание: int!sec^2 x , dx = int!{dx over cos^2 x} = operatorname{tg},x + C

Описание: int!csc^2 x , dx = int!{dx over sin^2 x} = -operatorname{ctg},x + C

Описание: int!sec{x} , operatorname{tg},{x} , dx = sec{x} + C

Описание: int!csc{x} , operatorname{ctg},{x} , dx = - csc{x} + C

Описание: int!sin^2 x , dx = frac{1}{2}(x - sin x cos x) + C

Описание: int!cos^2 x , dx = frac{1}{2}(x + sin x cos x) + C

Описание: int!sin^n x , dx = - frac{sin^{n-1} {x} cos {x}}{n} + frac{n-1}{n} int!sin^{n-2}{x} , dx, ninmathbb{N}, ngeqslant 2

Описание: int!cos^n x , dx = frac{cos^{n-1} {x} sin {x}}{n} + frac{n-1}{n} int!cos^{n-2}{x} , dx, ninmathbb{N}, ngeqslant 2

Описание: int!operatorname{arctg},{x} , dx = x , operatorname{arctg},{x} - frac{1}{2}ln{left( 1 + x^2 ight)} + C

 

Гиперболические функции:

Описание: int operatorname{sh},x , dx = operatorname{ch},x + C

Описание: int operatorname{ch},x , dx = operatorname{sh},x + C

Описание: int frac{dx}{operatorname{ch}^2,x} = operatorname{th},x + C

Описание: int frac{dx}{operatorname{sh}^2,x} = - operatorname{cth},x + C

Описание: int operatorname{th},x , dx = ln |operatorname{ch},x| + C

Описание: int operatorname{csch},x , dx = lnleft| operatorname{th},{x over2} ight| + C

Описание: int operatorname{sech},x , dx = operatorname{arctg},(operatorname{sh},x) + C

также Описание: int operatorname{sech},x , dx = 2, operatorname{arctg}, (e^x) + C

также Описание: int operatorname{sech},x , dx = 2, operatorname{arctg} , left(operatorname{th}, frac{x}{2} ight) + C

Описание: int operatorname{cth},x , dx = ln|operatorname{sh},x| + C

Интегралы функций.