Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными типа Описание: C:UsersiriffochkaDesktop13.png.

Надеюсь все помнят, что  Описание: C:UsersiriffochkaDesktop14.png только, если y есть функция аргумента x.

В дифференциальных уравнениях Описание: C:UsersiriffochkaDesktop13.png или Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Примеры решения переменные могут разделяться после проведения преобразований. Такие ОДУ (обыкновенные дифференциальные уравнения) являются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Соответствующее ДУ (дифференциальное уравнение) с разделенными переменными запишется так:

 

Описание: C:UsersiriffochkaDesktop16.png.

 

Производя разделение переменных нужно быть предельно внимательными, чтобы проводимые преобразования были равнозначными (чтобы  f2(y) и g1(x) не превращались в нуль на интервале интегрирования). Иначе можно потерять некоторые решения. Рассмотрим это на примере.

 

Пример решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:

Найдем все решения дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Примеры решения.

Решение.

Это уравнение является уравнение с разделяющимися переменными, т.к. можно разделить x и y:


Описание: C:UsersiriffochkaDesktop18.png

 

Для функции y=0 заданное уравнение обращается в тождество:

 

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Примеры решения,

 

поэтому, y = 0 будет решением дифференциального уравнения. Это решение мы могли упустить.

Проведем интегрирование дифференциального уравнения с разделенными переменными Описание: C:UsersiriffochkaDesktop20.png:


Описание: C:UsersiriffochkaDesktop21.png

В преобразованиях была замена C2 - C1 на С.

В итоге получено решение ДУ в виде неявно заданной функции:

 

Описание: C:UsersiriffochkaDesktop22.png.

 

На этом можно остановиться. Но в этом примере функцию y можно выразить явно, проведя потенцирование равенства, которое мы получили:


Описание: C:UsersiriffochkaDesktop23.png

 

Ответ:

Описание: C:UsersiriffochkaDesktop24.png.