Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными типа .
Надеюсь все помнят, что только, если y есть функция аргумента x.
В дифференциальных уравнениях или переменные могут разделяться после проведения преобразований. Такие ОДУ (обыкновенные дифференциальные уравнения) являются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Соответствующее ДУ (дифференциальное уравнение) с разделенными переменными запишется так:
.
Производя разделение переменных нужно быть предельно внимательными, чтобы проводимые преобразования были равнозначными (чтобы f2(y) и g1(x) не превращались в нуль на интервале интегрирования). Иначе можно потерять некоторые решения. Рассмотрим это на примере.
Пример решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:
Найдем все решения дифференциального уравнения .
Решение.
Это уравнение является уравнение с разделяющимися переменными, т.к. можно разделить x и y:
Для функции y=0 заданное уравнение обращается в тождество:
,
поэтому, y = 0 будет решением дифференциального уравнения. Это решение мы могли упустить.
Проведем интегрирование дифференциального уравнения с разделенными переменными :
В преобразованиях была замена C2 - C1 на С.
В итоге получено решение ДУ в виде неявно заданной функции:
.
На этом можно остановиться. Но в этом примере функцию y можно выразить явно, проведя потенцирование равенства, которое мы получили:
Ответ:
.