Как мы говорили в предыдущей статье, существует несколько методов определения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. В прошлой статье мы рассмотрели первый метод, сейчас рассмотрим второй метод.
Если функция f(x) представляется произведением многочлена степени n и экспоненты 
, значит, частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка находится как 
,
где Qn(x) является многочленом n-ой степени,
r – количество корней характеристического уравнения, которые равняются 
.
Коэффициенты многочлена Qn(x) можно определить из равенства 
.
Рассмотрим этот метод определения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами на примере.
Решение.
Общее решение имеет вид 
.
Нашему уравнению соответствует линейное однородное дифференциальное уравнение 
. Ранее мы определили, что корнями его характеристического уравнения оказываются k1 = 0 и k2 = 2 и 
.
Исходя из того, что правая часть исходного уравнения является произведением 
, значит, частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения находим как 
, причем Qn(x) является многочленом второй степени, 
и r=0, т.к. у характеристического уравнения нет корней, которые были бы равны единице. Значит:
,
где А, В и С оказываются неизвестными коэффициентами. Их мы можем найти из равенства 
.
Исходя из того, что
тогда
Приравняв коэффициенты у одинаковых показателей степени x, мы получим систему линейных уравнений, из которой вычислим искомые коэффициенты А, В и С:
Следовательно, 
- частное решение заданного линейного неоднородного дифференциального уравнения и
является общим решением исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
Разбор ЕГЭ 2013 по математике. Задание С1
