Как мы говорили в предыдущей статье, существует несколько методов определения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. В прошлой статье мы рассмотрели первый метод, сейчас рассмотрим второй метод.

 

Если функция f(x) представляется произведением многочлена степени n и экспоненты экспонента, значит, частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка находится как формула,

где Qn(x) является многочленом n-ой степени, 

r – количество корней характеристического уравнения, которые равняются формула.

Коэффициенты многочлена Qn(x) можно определить из равенства определить способом неопределенных коэффициентов из равенства.

 

Рассмотрим этот метод определения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами на примере.

 

Найдем общее решение дифференциального уравнения  общее решение дифференциального уравнения.

Решение.

Общее решение имеет вид частного решения исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Нашему уравнению соответствует линейное однородное дифференциальное уравнение линейное однородное дифференциальное уравнение. Ранее мы определили, что корнями его характеристического уравнения оказываются k1 = 0 и k2 = 2 и корнями его характеристического уравнения.

Исходя из того, что правая часть исходного уравнения является произведением общее решение дифференциального уравнения, значит, частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения находим как частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, причем Qn(x) является многочленом второй степени, частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения и r=0, т.к. у характеристического уравнения нет корней, которые были бы равны единице. Значит:

 общее решение дифференциального уравнения,

где А, В и С оказываются неизвестными коэффициентами. Их мы можем найти из равенства общее решение дифференциального уравнения.

Исходя из того, что 


Методы решения ЛНДУ 2-го порядка 

тогда

Методы решения ЛНДУ 2-го порядка

Приравняв коэффициенты у одинаковых показателей степени x, мы получим систему линейных уравнений, из которой вычислим искомые коэффициенты АВ и С:

Методы решения ЛНДУ 2-го порядка

Следовательно, Методы решения ЛНДУ 2-го порядка - частное решение заданного линейного неоднородного дифференциального уравнения и 

Методы решения ЛНДУ 2-го порядка

является общим решением исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.