Линейные уравнения. Система линейных уравнений.

Система m линейных уравнений с n неизвестными это система вида:

где a_ij и b_i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n – неизвестные числа. В обозначении коэффициентов a_ij индекс i определяет номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, у которого расположен этот коэффициент.

Однородная система - когда все свободные члены системы равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), обратная ситуация — неоднородная система.

Квадратная система - когда число m уравнений равняется числу n неизвестных.

Решение системы — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких, что подстановка всех c_i вместо x_i в систему превращает все её уравнения в тождества.

Совместная система – когда у системы есть хоть бы 1-но решение, и несовместная система, когда у системы нет решений.

У совместной системы такого вида (как приведен выше, пусть она будет (1)) может быть одно либо больше решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ совместной системы типа (1) будут различными, когда не выполняется даже 1-но из равенств:

c₁⁽¹⁾ = c₁⁽²⁾, c₂⁽¹⁾ = c₂⁽²⁾, …, c_n⁽¹⁾ = c_n⁽²⁾.

Совместная система типа (1) будет определённой, когда у нее есть только одно  решение; когда у системы есть хотя бы 2 разных решений, она становится недоопределённой. Когда уравнений больше, чем неизвестных, система является переопределённой.

Коэффициенты при неизвестных записываются как матрица:

Она называется матрицей системы.

Числа, которые стоят в правых частях уравнений, b₁,…,b_m являются свободными членами.

Совокупность n чисел c₁,…,c_n является решением этой системы, когда все уравнения системы обращаются в равенство после подставки в них чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных x₁,…,x_n.

При решении системы линейных уравнений могут возникнуть 3 варианта:

1. У системы есть только одно решение.

2. У системы есть нескончаемое число решений. Например, . Решением этой системы будут все пары чисел, которые отличаются знаком.

3. У системы нет решений. Например, , если бы решение существовало, то x₁ + x₂ равнялось бы в одно время 0 и 1.

Методы решения систем линейных уравнений.

Прямые методы дают алгоритм, по которому находится точное решение СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнений). И если бы точность была абсолютной, они бы нашли его. Реальная электро-вычислительная машина, конечно, работает с погрешностью, поэтому решение будет приблизительным.

Итерационные методы основываются на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Наиболее популярные способы решения систем линейных уравнений.

1. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

2. Правило Крамера.

3. Метод Гаусса.

4. Методом подстановки.

5. Методом почленного сложения.

6. Методом вращения.

7. Метод прогонки.