Метод Крамера (правило Крамера) — метод решения СЛАУ с количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).
Теорема Крамера.
Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера:
где Δ - определитель матрицы системы,
Δi - определитель матрицы системы, в котором вместо i-го столбца находится столбец правых частей.
Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.
Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.
Описание метода Крамера.
Есть система уравнений:
Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.
Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:
Это будет определитель системы. Когда D≠0, значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:
,,
Решаем систему по формулам Крамера:
;;;
Примеры решения систем уравнений методом Крамера.
Пример 1.
Дана система:
Решим ее методом Крамера.
Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:
Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:
Таким же путем получаем определитель Δ2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:
Теперь получили:
Ответ: x1= - 11, x2=31.
Пример 2.
Дана СЛУ с вещественными коэффициентами:
Определители:
В определителях столбец коэффициентов у соответствующей неизвестной заменяем на столбец свободных членов системы.
Решение:
Теперь решим на примере:
Определители: