Метод Крамера (правило Крамера) — метод решения СЛАУ с количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

 

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера:

 

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

 

где Δ - определитель матрицы системы,

Δi - определитель матрицы системы, в котором вместо i-го столбца находится столбец правых частей.

 

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

 

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

 

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

 

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

 

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

 

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

 

Это будет определитель системы. Когда D≠0, значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

 

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.,Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.,Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

 

Решаем систему по формулам Крамера:

 

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.;Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.;Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.;

 

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1.

Дана система:

 

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

 

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

 

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

 

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

 

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

 

Таким же путем получаем определитель Δ2 из определителя матрицы системы  заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

 

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

 

Теперь получили:

 

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

 

Ответ: x1= - 11, x2=31.

 

Пример 2.

Дана СЛУ с вещественными коэффициентами:

 

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

 

Определители:

 

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

 

В определителях столбец коэффициентов у соответствующей неизвестной заменяем на столбец свободных членов системы.

Решение:

 

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

 

Теперь решим на примере:

 

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

Определители:

 

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.