Метод вращений. Как и в методе Гаусса, целью прямого хода преобразований в методе вращений является приведение системы линейных уравнений к треугольному виду методичным обнулением поддиагональных элементов сначала 1-го столбца, далее 2-го и так далее.

 

Решение систем линейных уравнений. Метод вращения.

 

Допустим с1 и s1 – ненулевые числа. Умножаем 1-е уравнение системы на с1, 2-е на s1 и складываем их; уравнением, которое мы получили, заменяем 1-е уравнение системы. Далее 1-е уравнение начальной системы нужно умножить на – s1, 2-е – на c1 и итогом этого заменяем 2-е уравнение. Т.о., первые 2 уравнения заменяем уравнениями:

 

Решение систем линейных уравнений. Метод вращения.

 

На параметры с1 и s1 наложим 2 условия:

- условие исключения х1 из второго уравнения и

Решение систем линейных уравнений. Метод вращения.

- условие нормировки

Получаем:

Решение систем линейных уравнений. Метод вращения.

 

Эти числа можно истолковать как cos и sin некоторого угла α1 (поэтому метод так и называется - все шаги этого преобразования рассматриваются как вращение расширенной матрицы системы в плоскости индекса, который обнуляется).

После преобразований получаем систему:

 

Решение систем линейных уравнений. Метод вращения.

где

Решение систем линейных уравнений. Метод вращения.

 

Теперь 1-е уравнение системы заменяем полученным, результатом сложения итогов умножения 1-го и 3-го уравнений соответственно на:

 

Решение систем линейных уравнений. Метод вращения.

 

а 3-е – уравнением, которое получим после сложения результатов умножения уравнений соответственно на – s2 и с2. Получаем систему:

Решение систем линейных уравнений. Метод вращения.

где:

Решение систем линейных уравнений. Метод вращения.

 

Выполняя преобразование m-1 раз, приходим к системе:

 

Решение систем линейных уравнений. Метод вращения.

 

Вид системы, которую мы получили, такой же, как и после 1-го этапа преобразований методом Гаусса. У этой системы следующие свойства: длина всех векторов-столбцов расширенной матрицы остается такая же, как у исходной матрицы. То есть, при выполнении преобразований не роста элементов нет.

Далее, по этому же алгоритму преобразуем матрицу:

 

Решение систем линейных уравнений. Метод вращения.

и так далее.

В итоге m-1 этапов прямого хода система приведется к треугольному виду:

 

Решение систем линейных уравнений. Метод вращения.

 

Определение неизвестных такое же как и в обратном ходе метода Гаусса.

Треугольная, или, трапециевидная структура последней системы дает нам поочередно 1 за другим вычислить значения неизвестных, начиная с последнего:

 

Решение систем линейных уравнений. Метод вращения.

Решение систем линейных уравнений. Метод вращения.

Решение систем линейных уравнений. Метод вращения.