Как мы говорили в предыдущей статье, существует несколько методов определения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. В этой статье мы рассмотрели первый метод, здесь говорили о втором методе, а сейчас рассмотрим третий метод.

 

Если функция f(x) выглядит так: формула, где А1 и В1 оказываются числами, значит, частное решение линейного неопределенного дифференциального уравнения представляют как формула,

где А и В являются неопределенными коэффициентами, 

r - является числом комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, которые равны формула. Коэффициенты многочлена А и В определяются исходя из равенства определить способом неопределенных коэффициентов из равенства.

 

Рассмотрим этот метод определения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами на примере.

Необходимо определить общее решение дифференциального уравнения дифференциального уравнения.

Решение.

Первым шагом определяем y0, для чего необходимо записать и решить характеристическое уравнение:

дифференциальное уравнение

Решив это характеристическое уравнения мы определили пару комплексно сопряженных корней, значит, 

дифференциальное уравнение.

Исходя из того, что корнями характеристического уравнения оказалась комплексно сопряженная пара дифференциальное уравнение, а дифференциальное уравнение, то дифференциальное уравнение будет определяться как:

 дифференциальное уравнение,

где А и В являются неизвестными коэффициентами. Их мы можем вычислить используя равенство

дифференциальное уравнение.

Получаем:

дифференциальное уравнение

Тогда:

дифференциальное уравнение

Приравняем коэффициенты при sin и при cos:

дифференциальное уравнение

Тогда, 

дифференциальное уравнение 

и общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами примет вид:

дифференциальное уравнение