Как мы говорили в предыдущей статье, существует несколько методов определения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. В этой статье мы рассмотрели первый метод, здесь говорили о втором методе, а сейчас рассмотрим третий метод.
Если функция f(x) выглядит так: , где А1 и В1 оказываются числами, значит, частное решение линейного неопределенного дифференциального уравнения представляют как ,
где А и В являются неопределенными коэффициентами,
r - является числом комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, которые равны . Коэффициенты многочлена А и В определяются исходя из равенства .
Рассмотрим этот метод определения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами на примере.
Необходимо определить общее решение дифференциального уравнения .
Решение.
Первым шагом определяем y0, для чего необходимо записать и решить характеристическое уравнение:
Решив это характеристическое уравнения мы определили пару комплексно сопряженных корней, значит,
.
Исходя из того, что корнями характеристического уравнения оказалась комплексно сопряженная пара , а , то будет определяться как:
,
где А и В являются неизвестными коэффициентами. Их мы можем вычислить используя равенство
.
Получаем:
Тогда:
Приравняем коэффициенты при sin и при cos:
Тогда,
и общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами примет вид: