Как мы говорили в предыдущей статье, существует несколько методов определения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. В этой статье мы рассмотрели первый методздесь говорили о втором методездесь описание третьего метода, здесь разбирали четвертый метод, сейчас распишем метод для всех остальных видов функции f(x).

 

Для всех остальных видов функции f(x) используется такой порядок действий:

  • первым шагом определяем общее решение необходимого линейного однородного уравнения как y0 = C1 ⋅ y1 + C⋅ y2, где y1 и y2 являются линейно независимыми частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения, а C1 и C2 являются произвольными постоянными;
  • далее варьируем произвольные постоянные, т.е., как общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения принимаем y = C1(x) ⋅ y1 + C2(x) ⋅ y2;
  • и последним шагом необходимо определить производные функций C1(x) и С2(x) из системы уравнений:

 формула,

а функции C1(x) и С2(x) определяют при дальнейшем интегрировании.

 

Рассмотрим этот метод определения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами на примере.

Необходимо вычислить общее решение дифференциального уравнения

 линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Решение.

Для начала определим y0, для чего записываем и решаем характеристическое уравнение необходимого ЛОДУ линейное неоднородное дифференциальное уравнение

линейное неоднородное дифференциальное уравнение

Варьируя произвольные постоянные находим общее решение исходного уравнения как:

линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Определим производные функций C1(x) и С2(x) из системы уравнений:

линейное неоднородное дифференциальное уравнение

Далее необходимо решить систему с учетом неизвестных линейное неоднородное дифференциальное уравнение и линейное неоднородное дифференциальное уравнение любым способом. Решениями этой системы являются:

линейное неоднородное дифференциальное уравнение

Интегрируя все уравнения (можете просмотреть тему интегралы функций), имеем:

линейное неоднородное дифференциальное уравнение

Значит, общее решение исходного ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами выглядит как:

линейное неоднородное дифференциальное уравнение