Как мы говорили в предыдущей статье, существует несколько методов определения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. В этой статье мы рассмотрели первый метод, здесь говорили о втором методе, здесь описание третьего метода, здесь разбирали четвертый метод, сейчас распишем метод для всех остальных видов функции f(x).
Для всех остальных видов функции f(x) используется такой порядок действий:
- первым шагом определяем общее решение необходимого линейного однородного уравнения как y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2, где y1 и y2 являются линейно независимыми частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения, а C1 и C2 являются произвольными постоянными;
- далее варьируем произвольные постоянные, т.е., как общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения принимаем y = C1(x) ⋅ y1 + C2(x) ⋅ y2;
- и последним шагом необходимо определить производные функций C1(x) и С2(x) из системы уравнений:
,
а функции C1(x) и С2(x) определяют при дальнейшем интегрировании.
Рассмотрим этот метод определения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами на примере.
Решение.
Для начала определим y0, для чего записываем и решаем характеристическое уравнение необходимого ЛОДУ :
Варьируя произвольные постоянные находим общее решение исходного уравнения как:
.
Определим производные функций C1(x) и С2(x) из системы уравнений:
Далее необходимо решить систему с учетом неизвестных и любым способом. Решениями этой системы являются:
Интегрируя все уравнения (можете просмотреть тему интегралы функций), имеем:
Значит, общее решение исходного ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами выглядит как: