Сложение векторов: a + 0 = a, a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c.
Умножение вектора на число: λ⋅a = a⋅λ, λ⋅(µ⋅a) = (λ⋅µ) ⋅a, λ⋅(a + b) = λ⋅a + λ⋅b, (λ + µ) ⋅a = λ⋅a + µ⋅a.
Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3):
.
Необходимое и достаточное условие компланарности векторов a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), c = (c1; c2; c3):
.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов a и b — число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:
.
Другие обозначения:
.
Свойства скалярного произведения: (a, b) = (b, a), ((ka), b) = k (a, b), (a, (b + c)) = (a, b) + (a, c), (a,b)2 ≤ (a,a) ⋅ (b,b) (неравенство Коши–Буняковского).
Скалярное произведение двух векторов a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3) в координатах:
(a, b) = a1b1 + a2b2 + a3b3.
Угол между векторами a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3):
.
Векторное произведение двух векторов a и b — вектор [a, b]:
1) модуль вектора [a, b] равен: 
,
2) вектор [a, b] перпендикулярен как a, так и b,
3) упорядоченная тройка векторов (a; b; [a,b]), отложенных от одной точки, образует правый базис.
Другие обозначения: [a×b], a×b.
Векторное произведение двух векторов a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3) в координатах:
,
Свойства векторного произведения:
Смешанное (скалярно-векторное) произведение трех ненулевых некомпланарных векторов, заданных своими координатами относительно правого базиса (i, j, k):
a = (a1; a2; a3), a = (a1; a2; a3), c = (c1; c2; c3) — число, абсолютная величина которого равна объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, исходящих из одной точки. Это число положительно, если упорядоченная тройка (a; b; c) образует правый базис, и отрицательно, если левый.
Смешанное произведение векторов a, b, c, заданных своими координатами:
,
Свойства смешанного произведения:
= ([a, b], c) = ([b, c], a) = (c, [a, b]) = – (b, [a, c]).
Полный список всех формул, шпаргалок для ЕГЭ по математике тут: ЕГЭ математика - формулы, шпаргалки.
Разбор ЕГЭ 2013 по математике. Задание С1
