Скалярным произведением (или внутренним произведением) 2 векторов есть операция с двумя

векторами, итогом чего является число (скаляр), которое не зависит от системы координат и которое

характеризует длины векторов-сомножителей и угол между векторами. 

 

 

Также скалярным произведением двух векторов называется число, которое

равно произведению модулей 2 векторов на косинус угла между векторами.

Скалярное произведение векторов формула:

Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

 

Этой операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта

операция зачастую рассматривается как коммутативная и линейная по каждому из сомножителей.

 

Скалярное произведение векторов Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.,Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами., обозначается так: Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. (порядок записи сомножителей не имеет

значения, т.е. Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.).

 

Еще используются такие обозначения: Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами., Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами., Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами..

 

В основном имеется ввиду, что скалярное произведение определено положительно, т.е. Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. 

при каждом Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.. Если этого не иметь ввиду, то произведение зовется индефинитным

(неопределенным).

Если хотя бы один из 2 векторов Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. или Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. равен нулевому вектору (равен нулю), то Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами..

 

Свойства скалярного произведения векторов.

 

     1. Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. - симметричность.

 

      2. Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. обозначается Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. и зовется скалярный квадрат.

 

      3. Если Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами., то Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

 

     4. Если и Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. и Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. и Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами., то Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.. Обратное утверждение тоже соответствует 

действительности.

 

     5. Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

 

     6. Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

 

     7. Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

 

Если же векторы Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. и Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. заданы своими координатами: Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами., Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами., то: скалярное

произведение векторов, формула:

 

Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

 

 

Формула для определения длины вектора:

 

Длина (модуль) вектора, с известными координатами, равен квадратному корню из суммы квадратов

координат.

 

Длина вектора Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами., заданного своими координатами, равна:

 

Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

 

Как определить угол между 2 векторами:

 

Как найти угол между двумя векторами Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами., Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами., формула:

 

Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

 

Ежели угол меж двумя векторами острый, то их скалярное произведение имеет положительный знак; если

же угол между двумя векторами тупой, то их скалярное произведение имеет отрицательный знак.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы

ортогональны.

 

 

Альтернативное определение скалярного произведения векторов (вычисление скалярного

произведения двух векторов, заданных своими координатами).

 

Вычислить координаты вектора, если заданы координаты его начала и его конца очень просто. Давайте

рассмотрим этот вопрос:

 

Пусть есть вектор AB, точка А – это начало вектора, а В - конец, и координаты этих точек приведены ниже:

 

А=(a1,a2,a3), В=(b1,b2,b3)

 

где  a1, a2, aкоординаты точки A

b1, b2, b3координаты точки B

 

Исходя из этого, координаты вектора АВ:

 

АВ={b1-a1, b2-a2, b3-a3}.

 

Точно так же и в двухмерном пространстве – разница в отсутствии третьих координат.

 

Итак, предположим, даны два вектора, которые заданы набором координат своих точек:

 

а) В двухмерном пространстве (плоскость):

Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Значит, скалярное произведение этих векторов вычислим по формуле:

Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

б) В трехмерном пространстве:

Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Как и в двухмерном случае, скалярное произведение двух векторов вычисляем по формуле:

Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.